Integrazione Rieman, Mappatura discontinua

Question

Dimostralo $f\in\mathcal{R}$, quando $f:[0,2]\to \Bbb{R}$, tale che $f(x)=x$ quando $x \neq 1$, e $f(x)=-1$, quando $x=1$. Così$f$ ha una discontinuità a $1$.

Permettere $P$ essere una partizione di $[0,2]$, tale che $P=\{0<\frac{1}{n}<\frac{2}{n}<\cdots\frac{n-2}{n}<1+\frac{1}{n}<1+\frac{2}{n}<\cdots2\}$.

Con questa partizione, consideriamo solo quei sottointervalli, che si trovano a sinistra oa destra di $1$. Questo perché il sottointervallo$\Delta x_i$, che contiene il punto di discontinuità, non ha un supremum $M_i$corrispondente ad esso. Piuttosto,$M_i$ è arbitrariamente vicino a $1$ e questo è un grande mal di testa in termini di prova.

Ecco la prova reale. Permettere$P$essere come sopra. Poi$$U(P,f)-L(P,f)=\sum_{i=1}^n\Delta x_iM_i-\sum_{i=1}^n\Delta x_im_i=\frac{1}{n}\Biggr(\sum_{i=1}^nM_i-m_i\Biggr)$$

e in questo caso $\sum_{i=1}^nM_i-m_i=2-(-1)=3$. È corretto?

Answer 1

Hai scelto una partizione $P$ con punti

$$\underbrace{0,\,\frac{1}{n},\,\frac{2}{n},\,\cdots,\frac{n-2}{n}}_{x_0,x_1,\ldots, x_{n-2}},\,\underbrace{1+\frac{1}{n},\,1+\frac{2}{n},\,\cdots,\,2}_{x_{n-1}, x_{n-2},\ldots,x_{2n-1}}$$

In questo caso,

$$U(P,f) - L(P,f) = \sum_{j=1}^{2n-1}(M_j - m_j) (x_j - x_{j-1}) \\ =\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n-2}\left(\frac{j}{n} - \frac{j-1}{n}\right) + \frac{3}{n}\left(1 + \frac{1}{n} -(-1) \right)+ \frac{1}{n}\sum_{j=2}^{n}\left(1+\frac{j}{n} - \left(1+\frac{j-1}{n}\right)\right)\\ = \frac{n-2}{n^2} + 3\frac{2+ 1/n}{n} + \frac{n-1}{n^2} = \frac{8}{n}, $$

che tende a $0$ come $n$ tende a $\infty$.

Quindi, per qualsiasi $\epsilon > 0$ possiamo trovare una partizione tale che la differenza tra la somma superiore e quella inferiore sia inferiore a $\epsilon$, dimostrandolo $f$ è integrabile secondo il criterio di Riemann.