Interpretazione geometrica della differenziabilità complessa
Voglio conoscere la vista geometrica della differenza tra differenziabilità di due funzioni variabili in $\mathbb R^2$ e il significato di differenziabilità per le funzioni olomorfe, conosco la soluzione con l'algebra e gli strumenti di analisi ma non so cosa accadrà per la loro geometria
Risposte
La differenziabilità sia reale che complessa si riduce allo stesso concetto: una funzione $f:\mathbb C\to \mathbb C$ è differenziabili in $z_0$ se esiste una mappa lineare $L:\mathbb C\to\mathbb C$ che è una buona approssimazione di $f$ a $z_0$. Più specificamente, significa questo
$$\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)-L(h)}{\vert h\vert}=0.$$
$f(z_0)+L(h)$ è l'approssimazione lineare di $f$ a $z_0$e l'equazione precedente dice che la differenza tra $f$ e la sua approssimazione lineare è in qualche modo piccola quando siamo vicini a $z_0$ (intendendo che $h$è piccolo). La differenza tra i tipi di differenziabilità è sottile, ma importante. È nella definizione di "lineare". Esistono due modi per visualizzare$\mathbb C$come uno spazio vettoriale. O come uno spazio vettoriale bidimensionale$\mathbb R$o uno spazio vettoriale unidimensionale sopra $\mathbb C$. E le due nozioni si tradurranno in diversi tipi di linearità, chiamati$\mathbb R$-linearità e $\mathbb C$-linearità. $\mathbb R$-Le mappe lineari sono quelle che conosci bene dall'algebra lineare: rotazioni, dilatazioni, shearing e altro. Ma$\mathbb C$-le mappe lineari sono più limitate. Una cartina$L:\mathbb C\to\mathbb C$ è $\mathbb C$-lineare, se per tutti $\lambda, z,w\in\mathbb C$ lo tiene $L(z+w)=L(z)+L(w)$ e $L(\lambda z)=\lambda L(z)$. Fondamentalmente come le solite mappe lineari, ma possiamo estrarre gli scalari$L$ora sono complessi anziché solo reali. E questo è grande, perché questo ora significa quello$L(z)=L(1\cdot z)=L(1)\cdot z$. E possiamo scegliere$L(1)$ a nostro piacimento, quindi il $\mathbb C$-le mappe lineari sono solo le moltiplicazioni per un numero complesso. E quelle sono note per essere dilatazioni di rotazione, geometricamente: moltiplicare un numero complesso$z$ da un altro numero complesso $c$ ruota e si dilata $z$ di un importo determinato da $c$ (a proposito, anche questi sono $\mathbb R$-lineare, ma non solo $\mathbb R$-sono anche le mappe lineari $\mathbb C$-lineare). E questa è la grande differenza geometrica tra differenziabilità reale e complessa: una funzione è realmente differenziabili se può essere approssimata da qualsiasi mappa lineare. Ed è complessivamente differenziabili se può essere approssimato da una rotazione-dilatazione, che è un tipo molto specifico di mappa lineare. Inoltre, le dilatazioni di rotazione preservano gli angoli tra le curve morbide, a meno che non siano la mappa zero. E anche le funzioni olomorfiche lo fanno: prendi due curve regolari e regolari. Se applichiamo una mappa olomorfa la cui derivata non è da nessuna parte$0$al piano complesso, quindi otteniamo due curve diverse. Ma se si sono intersecati in anticipo, si intersecheranno comunque e l'angolo di intersezione sarà lo stesso.
(Vedi figura sotto)
Considera la matrice giacobiana di una funzione $(u(x,y),v(x,y))$, $\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$:
$$J=\begin{pmatrix}\partial u/\partial x&\partial u/\partial y\\ \partial v/\partial x&\partial v/\partial y\end{pmatrix}\tag{0}$$
Nel caso di una funzione differenziabile complessa, le sue voci devono obbedire alle equazioni di Cauchy-Riemann,
$$\partial u/\partial x=\partial v/\partial y \ \ \ \ \text{and} \ \ \ \ \partial u/\partial y=-\partial v/\partial x$$
Significa che $J$, avente la struttura:
$$J=\begin{pmatrix}a&-b\\b& \ \ a\end{pmatrix}\tag{1}$$
può essere interpretata come la matrice di una similitudine (= rotazione seguita da omotetia). Anzi, ambientazione$a=r \cos \theta, b=r \sin \theta$, otteniamo:
$$J=r\begin{pmatrix}\cos \theta&-\sin \theta\\ \sin \theta& \ \ \cos \theta\end{pmatrix}\tag{2}$$
Qual è il significato geometrico di questi parametri $r$ e $\theta$? Prendiamo l'esempio della funzione$$Z=f(z)=\sqrt{z}\tag{2}$$Le linee orizzontali e verticali vengono mappate mediante trasformazione (2) su rami di iperboli. Ad esempio, il ramo (blu) dell'iperbole più vicino all'origine è l'immagine della linea verticale (blu)$x=1$; in particolare, punto$(1,0)$è la propria immagine ... Viene preservata l'ortogonalità delle curve (proprietà ben nota delle cosiddette mappature conformi ).
Ho individuato un punto $z_0=3+4i$ che si trova all'intersezione della linea blu $x=3$ e linea rossa $y=4$. Troviamo la sua immagine$\sqrt{z_0}$ all'incrocio del $3$rd iperbole blu e 4a iperbole rossa. Naturalmente, il suo vero valore è in riferimento agli assi delle coordinate$(u,v)$e leggiamo $\sqrt{z_0}=2+i.$
colleghiamo ora questo a ciò che è stato detto prima: considera $2$ piccole vicinanze intorno $z_0$ e la sua immagine $\sqrt{z_0}$, materializzato da quadrati verdi; il secondo quadrato verde è l'immagine del primo con una rotazione e un'omotetia. La scala nella figura a destra è circa 4 volte più grande che nella figura a sinistra, il rapporto di omotetia$r$ dovrebbe essere in giro $0.25$. Possiamo anche anticipare l'angolo di rotazione che dovrebbe essere intorno$-30$ gradi (il segno meno è importante!).
Facciamo ora calcoli precisi che confermeranno che i valori approssimativi che abbiamo ottenuto sopra erano nel buon range.
Come derivato di $f(z)=\sqrt{z}$ è $f(z)=1/(2\sqrt{z})$ (stessa formula che per il suo vero cugino), questo dà per $z=z_0$:
$$f'(z_0)=1/(2 \sqrt{z_0})=1/(2(2+i))=0.2-0.1i=re^{i\theta}$$
il cui modulo $r=0.2236$ tenere conto del rapporto di omotetia (qui si restringe) e dell'argomento
$$\theta \ = \ -\arctan \frac12 \ = \ -0.4636 \ \text{radians} \ = \ -26.56 \ \text{degrees}$$
Le nostre ipotesi non erano male!
Nota 1: Tutto questo è stato reso possibile perché una matrice come (1) o (2) "è" un numero complesso risp. sotto la sua forma algebrica e trigonometrica, ma un numero complesso sotto il suo "aspetto dinamico" che agisce (per moltiplicazione) sui suoi colleghi statici ...
Nota 2: Si potrebbe obiettare che si sarebbe dovuto tenere conto anche di una traduzione, ma non è così: per la differenziabilità, si considera che tutto viene fatto sia all'origine sia nel piano originale e nel piano dell'immagine.
Fig.1: "Mappatura conforme" associata alla funzione $f(z)=\sqrt{z}$. Le immagini di linee orizzontali e verticali$x=x_0$ e $y=y_0$ sono iperboli con equazioni $u^2-v^2=x_0$ e $2uv=y_0$resp. (con colori corrispondenti).
Se $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ è liscia, quindi per definizione ha una J. Jacobiana per $f$ essere complessivamente differenziabili in un punto $(x_0,y_0)$, deve esistere un numero complesso $w \in \mathbb{C}$ equivalente a $J$ nel senso che per tutti $x,y \in \mathbb{C}$, $$J\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = w(x + iy)$$ dove la moltiplicazione a sinistra è la normale moltiplicazione di matrici ma la moltiplicazione a destra è la moltiplicazione in $\mathbb{C}$. Le trasformazioni lineari$J$ equivalente a moltiplicare per alcuni $w$sono molto speciali; sono formati da una rotazione e ridimensionamento. Tristan Needham, nel suo libro "Visual Complex Analysis" chiama queste trasformazioni (costituite da rotazione + ridimensionamento) amplitwist.
Un modo informale per dire questo: è quello $f$è realmente differenziabili in$z$ se ha la proprietà che quando guardi $f$ in un quartiere molto piccolo intorno $z$ poi $f$inizia a sembrare lineare; mentre$f$è complessivamente differenziabili in$z$ se ha la proprietà che quando guardi $f$ in un quartiere molto piccolo intorno $z$ poi $f$inizia non solo lineare, ma come un "amplitwist". Sotto una lente d'ingrandimento,$f$ sta solo ruotando e ridimensionando.
Cerco di spiegare il significato di $f'(z)dz$per complesse funzioni differenziabili in un punto . Lascia che i numeri complessi siano interpretati nel piano come frecce che iniziano dall'origine e formano un angolo con$x$-asse. La loro somma è chiara (spero) ma la loro moltiplicazione ha una freccia con una lunghezza come prodotto delle lunghezze e un angolo come somma degli angoli. Scriviamo$dz = re^{i\varphi}$ e $f'(z) = Re^{i\Phi}$. Il loro prodotto è$$ f'(z)dz = re^{i\varphi} Re^{i\Phi} = rR e^{i(\varphi + \Phi)} $$ Questo prodotto dovrebbe rappresentare il piccolo cambiamento in $f(z)$ come risposta a un cambiamento sufficientemente piccolo $dz$ in $z$. Questo è$$ \Delta f(z) \approx df(z) = rR e^{i(\varphi + \Phi)} $$ Adesso aspetta $r,R$ e $\Phi$ fisso e cambiamento $\varphi$ vedi che il cambiamento in $f(z)$ (o più precisamente $df(z)$) ruota con lo stesso angolo $\varphi$. Questo è$df(z)$ e $dz$mantenere l'angolo tra di loro. Consenti solo ora$r$ cambiare, allora $df(z)$ e $dz$ sono scalati dallo stesso numero.
Questa dipendenza di $df(z)$ sopra $dz$corrisponde a una trasformazione lineare, ovvero una rotazione + un ridimensionamento dell'angolo di$dz$e dalla sua lunghezza rispettivamente. Ora il derivato in$\mathbb R^n$è una trasformazione lineare. Quello che abbiamo dentro$\mathbb C$ è un caso speciale di quello in $\mathbb R^2$. Per ulteriori informazioni sulle trasformazioni lineari in$\mathbb R^2$vedi questo e questo un ricordo di quel complesso derivato è speciale.