L'assioma implica il suo duplice?

Question

Supponiamo di avere il seguente assioma per il piano proiettivo:

Assioma : se una proiettività lascia invariante ciascuno dei tre punti distinti su una linea, lascia invariante ogni punto della linea.

Il duplice di questo assioma è la seguente affermazione:

Doppia : se una proiettività lascia invariante ciascuna delle tre linee distinte, che sono concorrenti in un punto, lascia invariante ogni linea che passa per quel punto.

Ora devo dimostrare che Axiom $\Rightarrow$ Doppio .

Il mio tentativo sbagliato di dimostrazione : lasciamo le tre righe$a,b,c$, in concomitanza con $O$ essere le linee lasciate invarianti dalla proiettività, e $l$ essere qualsiasi altra linea attraverso $O$. Se possiamo dimostrare che tre punti$l$ sono lasciati invarianti da questa proiettività, quindi avremo tutti i punti su $l$ sono lasciati invarianti dalla proiettività, il che lo implicherebbe $l$ stesso è lasciato invariante, e avremo finito, perché abbiamo seguito qualsiasi linea arbitraria $O$.

Adesso lo sappiamo $O$è lasciato invariante dalla proiettività. Per qualsiasi altro punto, diciamo$P$, sopra $l$, lascia passare una linea $P$ diverso da $l$, si intersecano $a, b$ e $c$ nei punti $A,B$ e $C$, rispettivamente. Ora se$A,B,C$ vengono lasciati invarianti dalla proiettività, quindi $P$, un punto sulla linea $AB$, sarà anche lasciato invariante. Da$P$ è un punto arbitrario $l$, questo è vero per tutti i punti $l$ e abbiamo finito.

Comunque le linee$a,b,c$ essere invarianti non implica che i punti $A,B,C$sarà lasciato invariante dalla proiettività . È lì che sono bloccato.

Per favore condividi qualsiasi intuizione per spingermi nella giusta direzione.

Answer 1

Puoi pensare a una proiettività come una sequenza alternata di punti e linee e le sequenze di prospettive che rappresentano. Per un semplice esempio,$(\ell_1,P_2,\ell_3)$ rappresenta la prospettiva tra le righe $\ell_1$ e $\ell_3$ con centro $P_2$. E ($P_2,\ell_3,P_4$) è la prospettiva con l'asse $\ell_3$ tra le matite a $P_2$ e $P_4$. ($\ell_1,P_2,\ell_3,P_4,\ell_5$) è una proiettività $\ell_1\rightarrow\ell_5$ questa è la composizione di due prospettive $\ell_1\rightarrow\ell_3\rightarrow\ell_5.$

Permettere $(P_1,\ell_2,\dots,P_1)$ essere una proiettività che lascia tre linee nella matita a $P_1$invariante, ma non l'intera matita. Quindi considera$(\ell_2,\dots,P_1,\ell_2)$. Questo è forse già più della spinta che hai richiesto, ma lascerò il passaggio finale come spoiler.

$(\ell_2,\dots,P_1,\ell_2)$ è una proiettività che viola l'assioma.