Le serie convergono?

Question

Permettere $g \colon \mathbb{N} \rightarrow \{0,1\}$ tale che $g(n)=0$, Se $n \equiv 0$ o $n \equiv 1 ~(\bmod~4)$; o$g(n)=1$, Se $n \equiv 2$ ou $n \equiv 3 ~(\bmod~4)$.

Fare $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{g(n)}}{\sqrt{n}}$ convergere?

La serie è qualcosa del genere

• Se $n=1$, poi $\frac{(-1)^{g(n)}}{\sqrt{n}} = \frac{(-1)^{0}}{\sqrt{1}} = 1$, somma parziale di 1

• Se $n=2$, poi $\frac{(-1)^{g(n)}}{\sqrt{n}} = \frac{(-1)^{1}}{\sqrt{2}} \approx -0.707$, somma parziale di $\approx$ 0.293

• Se $n=3$, poi $\frac{(-1)^{g(n)}}{\sqrt{n}} = \frac{(-1)^{1}}{\sqrt{3}} \approx -0.577$, somma parziale di $\approx$ -0,284

• Se $n=4$, poi $\frac{(-1)^{g(n)}}{\sqrt{n}} = \frac{(-1)^{0}}{\sqrt{4}} = 0.5$, somma parziale di $\approx$ 0.216

• $\cdot\cdot\cdot$ e va avanti

Cosa ho pensato di fare?

1. Rompi la serie (chiamala $a_n$) in due ($b_n$ e $c_n$), dove $b_n$ è i termini positivi e rendono i termini negativi = $0$; e$c_n$ è solo i termini negativi, e i termini che sono indici di positivo = $0$. Quindi abbiamo un'uguaglianza di$a_n = b_n - c_n$. Se lo mostro neanche io$b_n$ o $c_n$ diverge quindi $a_n$ diverge?
2. Lo so, usando Alternate Series Test, quello $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ converge, ma significa anche $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{g(n)}}{\sqrt{n}}$converge? Non è propriamente un riordino, quindi ho i miei dubbi.

Non sono sicuro di nessuno dei modi, quindi è per questo che sono qui. Grazie.

Answer 1

La serie converge secondo il test di Dirichlet . Nella notazione dell'articolo di Wikipedia, lascia$a_n=\frac1{\sqrt n}$, e lascia $b_n=(-1)^{g(n)}$. Poi$\mid\sum_{k=1}^n b_k\mid\leq2$ e il test si applica.

Answer 2

Penso che sia $$\sum_{m=0}^\infty\left(\frac1{\sqrt{4m+1}}-\frac1{\sqrt{4m+2}} -\frac1{\sqrt{4m+3}}+\frac1{\sqrt{4m+4}}\right).$$ Il teorema del valore medio implica che entrambi $$\frac1{\sqrt{4m+1}}-\frac1{\sqrt{4m+2}}$$ e $$-\frac1{\sqrt{4m+3}}+\frac1{\sqrt{4m+4}}$$ siamo $O(m^{-3/2})$, e quindi questa serie converge rispetto a $\sum_{m=1}^\infty m^{-3/2}$ .

Answer 3

abbiamo

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{g(n)}}{\sqrt{n}}=\frac{1}{1}-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+\cdots$$

Ora, nota che per $n\equiv 2\ (\text{mod}\ 4)$ abbiamo i termini

$$\cdots-\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}+\frac{1}{\sqrt{n+2}}+\frac{1}{\sqrt{n+3}}-\cdots$$

$$\cdots-\frac{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}{\sqrt{n(n+1)}}+\frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+3}}{\sqrt{(n+2)(n+3)}}$$

Cioè, la somma può essere riscritta come

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{g(n)}}{\sqrt{n}}=1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{\sqrt{2n}+\sqrt{2n+1}}{\sqrt{2n(2n+1)}}$$

Ma vediamo che il termine in questa somma sta diminuendo. Concludiamo con il test della serie alternata che la somma converge

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MODIFICA RICHIESTA: Nota che

$$0\leq \left(\frac{\sqrt{2n}+\sqrt{2n+1}}{\sqrt{2n(2n+1)}}\right)^2=\frac{4n+1+2\sqrt{2n(2n+1)}}{2n(2n+1)}$$

$$\leq\frac{5n+2\sqrt{2n(2n+1)}}{2n(2n+1)}=\frac{5}{4n+2}+\frac{2}{\sqrt{2n(2n+1)}}$$

$$<\frac{5}{4n}+\frac{2}{\sqrt{2n(2n-n)}}=\frac{5}{4n}+\frac{2}{n\sqrt{2}}$$

$$<\frac{2}{n}+\frac{2}{n}=\frac{4}{n}\to 0$$

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SECONDA MODIFICA RICHIESTA: Nota che

$$1=\frac{1}{1}$$

$$n=1:\ (-1)^1\frac{\sqrt{2\cdot 1}+\sqrt{2\cdot 1+1}}{\sqrt{2\cdot 1(2\cdot 1+1)}} =-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}\sqrt{3}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}$$

$$n=2:\ (-1)^2\frac{\sqrt{2\cdot 2}+\sqrt{2\cdot 2+1}}{\sqrt{2\cdot 2(2\cdot 2+1)}} =\frac{\sqrt{4}+\sqrt{5}}{\sqrt{4}\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{5}}$$

$$n=3:\ (-1)^3\frac{\sqrt{2\cdot 3}+\sqrt{2\cdot 3+1}}{\sqrt{2\cdot 3(2\cdot 3+1)}} =-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{7}}{\sqrt{6}\sqrt{7}}=-\frac{1}{\sqrt{6}}-\frac{1}{\sqrt{7}}$$

$$\vdots$$

Il lato sinistro è i termini che abbiamo trovato mentre il lato destro sono i termini originali.

Answer 4

Per un'altra prova di convergenza, possiamo riscrivere la somma con $a^{-1/2}=\pi^{-1/2}\int_0^\infty x^{-1/2}e^{-ax}dx$ come$$\pi^{-1/2}\sum_{m\ge0}\int_0^\infty x^{-1/2}e^{-(4m+1)x}(1-e^{-x})(1-e^{-2x})dx=\pi^{-1/2}\int_0^\infty\frac{x^{-1/2}e^{-x}(1-e^{-x})}{1+e^{-2x}}dx.$$Per i piccoli $x>0$, l'integrando $\sim\tfrac12x^{1/2}$; per grandi$x$, l'integrando $\sim x^{-1/2}e^{-x}$.