Limitando il $\mathbb{E}|X|^p $ e $\mathbb{E}|Y|^p$ di $\mathbb{E}|X+Y|^p$ [duplicare]

Question

Sto cercando di dimostrare la seguente affermazione:

Permettere $X, Y$essere due variabili casuali indipendenti. Se per alcuni$p>0$, $\mathbb{E}(|X+Y|^p)<\infty$, poi $\mathbb{E}(|X|^p)$ e $\mathbb{E}(|Y|^p)$ sono entrambi finiti.

Il problema che sto avendo è che tutte le disuguaglianze a cui riesco a pensare in questo caso sono nella direzione opposta di ciò che voglio effettivamente dimostrare. Ad esempio, la disuguaglianza di Minowski mi permette di concludere che$$\mathbb{E}|X+Y|^p \leq [(\mathbb{E} |X|^p)^{1/p} +(\mathbb{E} |Y|^p)^{1/p}]^p $$, ma questo non è affatto utile in termini di direzione dell'indagine. Ho anche lottato per trovare un modo per utilizzare il presupposto dell'indipendenza. Apprezzerei se qualcuno potesse fornire un suggerimento.

Answer 1

Da $|X+Y|^p$ è integrabile rispetto a $\mathbb P$, possiamo definire l'aspettativa condizionale $\mathbb E[|X+Y|^p | \mathcal G]$ rispetto a qualsiasi $\sigma-$campo $\mathcal G \subset \mathcal F$. Permettere$\mathcal G = \sigma(X)$ per esempio.

Per proprietà di aspettativa condizionale e indipendenza, otteniamo:

$$ \infty > \mathbb E[|X+Y|^p] = \mathbb E[ \mathbb E[ |X+Y|^p | \sigma(X) ] ] = \mathbb E[ H(X)] $$

Dove $H(t)= \mathbb E[|t+Y|^p]$. In particolare dobbiamo avere$H(X) < \infty$ $\mathbb P-$quasi sicuramente, quindi dobbiamo averne almeno uno $t \in \mathbb R$ tale che $H(t) < \infty$, il che significa che ce ne sono alcuni $t \in \mathbb R$ tale che $\mathbb E[|t+Y|^p] < \infty$

Ma allora $$\mathbb E[|Y|^p] = \mathbb E[ |(Y+t) + (-t)|^p] \le \Big(\big(\mathbb E[|Y+t|^p]\big)^{\frac{1}{p}} + |t| \Big)^p < \infty$$

Allo stesso modo, cambiando in $\sigma(Y)$ ci arriveremo $\mathbb E|X|^p < \infty$.