Lo fa $U^c \subseteq B$ implica $B^c \subseteq U$?

Question

Supponiamo $U, B$ sono entrambi sottoinsiemi di $X$ e voglio sapere se $U^c \subseteq B$ implica $B^c \subseteq U$. Sembra che il caso sia vero perché ho disegnato alcuni diagrammi di Venn e sembra valere, ma non sono sicuro che sia così poiché credo che potrebbero esserci dei controesempi. Qualcuno mi darebbe qualche idea? Grazie!

Answer 1

In breve: se $x\in B^c$ poi $x\notin B$, così $x\notin U^c$, quindi $x\in U$.

Answer 2

Se $x \in B^\complement$. Lo sostengo davvero$x \in U$ perché

Se $x \notin U$ poi $x \in U^\complement \subseteq B$ così $x \in B$ contraddittorio $x \in B^\complement$.

Quindi l'inclusione vale. In alternativa potresti usare il fatto logico

$$p \to q \iff \lnot q \to \lnot p$$ applicato ad $p:= (x \in B^\complement)$ e $q:= (x \in U)$.