Markov Chain Limit Proof

Question

Innanzitutto, scusa per il mio cattivo inglese. Ho difficoltà a provare questo esercizio (proviene da alcuni appunti che avevo all'università, sto studiando per i miei master l'anno prossimo).

Permettere $X$ essere una catena di Markov aperiodica irriducibile sullo spazio degli stati finiti $S$. Permettere$\pi$essere misura stazionaria. Assumere$X$ iniziato alle $\pi$. Permettere$a,b \in S$. Mostra che:

$\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}(X_0=a, X_n=b) = \pi(a)\pi(b)$

Ho provato molte cose, compresi gli accoppiamenti, ma non riesco a capirlo. Eventuali suggerimenti e aiuto sarebbero fantastici. Grazie!

Answer 1

Non puoi semplicemente scrivere \begin{align} \mathbb P(X_0 = a, X_n = b) &= P(X_0 = a) P(X_n = b \vert X_0 = a) \\ &= \pi(a) P^n_a(b), \end{align} dove $P^n_a$ è il $n$-step kernel della catena Markov avviato in $a$, e lo presumi $X_0$ è tratto da $\pi$. Per irriducibilità e aperiodicità, questo kernel converge alla misura stazionaria nel limite, quindi ottieni solo$$ \lim_{n \rightarrow \infty} P^n_a(b) = \pi(b),$$e il risultato segue. Cosa mi manca?