Moduli di connessione
Trovo il seguente paragrafo nel libro Collettori e geometria differenziale di Jeffrey M.Lee (sezione 12.2 Moduli di connessione pagina 506):
Permettere $\pi : E \longrightarrow M $ essere un bundle di vettori di rango r con una connessione $\nabla$. Ricorda che una scelta di un campo frame locale su un insieme aperto$U \subset M $ equivale a una banalizzazione della restrizione $\pi_U : {E|}_U \longrightarrow U . $ Vale a dire, se $ \phi = (\pi, \Phi)$ è una tale banalizzazione su U, che poi definisce $e_i(x)= \phi ^{-1}(x,e_i)$, dove $(e_i)$ è la base standard di $\mathbb{F}^n$, abbiamo un campo frame $(e_1,...,e_k).$Esaminiamo ora l'espressione per una data derivata covariante dal punto di vista di tale campo locale. Non è difficile vedere che per ogni campo frame di questo tipo deve esserci una matrice di 1-forme$\omega = {(\omega_j^i)}_{1≤i,j≤r}$ tale che per $X \in \Gamma(U,E)$ possiamo scrivere $$\nabla_Xe_j =\sum\limits_{i=1}^k {\omega_j^i}(X)e_i$$
La mia domanda è: come si può dimostrare l'esistenza di una tale matrice di 1-forme?
Risposte
Lo sappiamo $\nabla_Xe_i$ è una sezione liscia di $E$e lavorando localmente su un frame $(U,e_1,\ldots, e_k)$ come te lo abbiamo $$ \nabla_Xe_i=\sum_{j=1}^n \omega^j_i(X)e_j$$ dove $\omega^j_i:\mathfrak{X}(U)\to C^\infty(U).$ È facile vedere l'utilizzo $\nabla_{aX+bY}=a\nabla_X+b\nabla_Y$ quello $\omega^j_i$ è lineare, ma più è vero. $\omega^j_i$ è tensoriale perché $\nabla_{fX}=f\nabla_X$ così che $\omega^j_i(fX)=f\omega^j_i(X)$. Quindi,$\omega^j_i$ è un liscio $(0,1)-$campo tensore finito $U$. Questo è il$(\omega_j^i)$ formare un $k\times k$ matrice di liscia $1-$forme finite $U$.
Modifica: questo per rispondere alla domanda sollevata nei commenti.
Vuoi esprimere la matrice $(\omega_j^i)_{i,j}$definito localmente come una sezione di un fascio di endomorfismi. È possibile definire forme differenziali a valori di bundle vettoriali. In realtà, non è così difficile. In una banalizzazione locale di$E$ dato da $(U,e_1,\ldots, e_r)$ un $E-$differenziale valutato $k-$la forma è un'espressione della forma $\eta=\eta^1\otimes e_1+\cdots +\eta^r\otimes e_r$ per ciascuno $\eta^i$ un $k-$modulo. Cioè, abbiamo un file$k-$forma davanti a ogni elemento del telaio, in modo che dato $X_1,\ldots, X_k$ campi vettoriali sullo stesso quartiere aperto, $$ \eta(X_1,\ldots, X_k)=\sum_{i=1}^r \eta^i(X_1,\ldots,X_k)e_i$$ definisce una sezione di $E$ al di sopra di $U$. Con tutto questo detto, se$E$ è localmente banale con $e_1,\ldots, e_r$ una cornice locale, quindi $\operatorname{End}(E)$ Viene anche banalizzato, con frame dato dalle matrici standard $E_{i,j}$ (tutti gli zeri tranne a $1$ nel $(i,j)$posizione). Questo è,$E_{i,j}$ rappresenta l'invio della trasformazione $e_j\mapsto e_i$ e tutti gli altri $e_k\mapsto0$. Poi un$\operatorname{End}(E)-$apprezzato $k-$la forma è esattamente una somma della forma $$ \sum_{i,j}\underbrace{\eta^{i,j}}_{\in \Omega^k(U)}E_{i,j}= \begin{bmatrix} \eta^{1,1}&\cdots& \eta^{1,r}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \eta^{r,1}&\cdots& \eta^{r,r} \end{bmatrix}.$$ Nel caso in cui $k=1$, questo è chiamato un $\operatorname{End}(E)-$apprezzato $1-$modulo. Nota che questo è un caso speciale della costruzione generale per i fasci di vettori, poiché$\operatorname{End}(E)$è un pacchetto vettoriale. Questo è ciò a cui si riferisce l'autore$\mathcal{A}^1(-,\operatorname{End}(E))$.