Molteplici ingrandimenti

Question

Supponiamo che io consideri, dentro $\mathbb{P}^6$, le sottovarietà $Y=V(x_2,\ldots,x_6)\simeq \mathbb{P}^1$ e $Z=V(x_0,\ldots,x_3)\simeq \mathbb{P}^2 $.

Voglio capire di cosa si tratta $\mathbb{P}^6$ lungo $Y,Z$. Seguendo il libro Algebraic Geometry di Harris, sono partito da$Bl_Y(\mathbb{P}^6)$: l'ideale di $Y$ è $I(Y)=(x_2,\ldots,x_6)$, e quindi ho una mappa razionale

$$\phi:\mathbb{P}^6 \dashrightarrow \mathbb{P}^4, p\mapsto [p_2:\ldots:p_6]$$ e $Bl_Y(\mathbb{P}^6)\subset \mathbb{P}^6\times\mathbb{P}^4$ è la varietà chiusa associata al grafico di $\phi$.

Adesso vorrei saltare in aria $\mathbb{P}^6$ lungo $Z$, quindi suppongo di aver bisogno di studiare

$$Bl_Z(Bl_Y(\mathbb{P}^6))$$

e qui ho diverse domande:

• $Bl_Z(Bl_Y(\mathbb{P}^6))\subset \mathbb{P}^6\times \mathbb{P}^4 \times \mathbb{P}^3$? Immagino di sì dato che sto ripetendo la procedura sopra, quindi mi chiedevo se una sequenza di file$n$-blow up per esempio vivono in un prodotto cartesiano di $n+1$-spazi proiettivi (anche se ovviamente posso incorporarli tramite una mappa Segre);
• Posso esplodere contemporaneamente $\mathbb{P}^6$ lungo $Y,Z$? Ottengo la stessa costruzione?
• (Collegato alla domanda precedente): cosa succede se $Y\cap Z \neq \emptyset$?

Answer 1

1. Sì, puoi farlo - ogni volta che fai esplodere qualcosa (localmente) tagliato da $d$ equazioni all'interno $X$, puoi incorporare il tuo ingrandimento nel prodotto $X\times\Bbb P^{d-1}$. Ciò segue dalla descrizione dell'esplosione come progetto relativo:$Bl_ZX=\underline{\operatorname{Proj}} \bigoplus \mathcal{I}_Z^n$e localmente su $X$ otteniamo una sorpresa $\mathcal{O}_X[t_1,\cdots,t_d]\to \bigoplus \mathcal{I}_Z^n$ che (dopo l'incollaggio) corrisponde ad un'immersione chiusa $Bl_ZX\hookrightarrow \Bbb P^{d-1}_X$.
2. Si se $Y,Z$ sono due sottoschemi chiusi disgiunti quindi tutti i ingrandimenti $Bl_Y(Bl_Z X)$, $Bl_Z(Bl_Y X)$ e $Bl_{Y\cup Z} X$sono gli stessi. Questo può essere verificato localmente, poiché le ingrandimenti sono isomorfismi lontani dall'oggetto che fai esplodere.
3. Risulta che parte della nostra conclusione da 2 vale una volta che generalizziamo in modo appropriato: $Bl_{\pi^{-1}(Y)}(Bl_Z X) \cong Bl_{\pi^{-1}(Z)}(Bl_Y X)$(questo è il Lemma IV-41 in The Geometry of Schemes di Eisenbud e Harris ). Nota che questa è la trasformazione totale, non la trasformazione rigorosa: le trasformazioni rigorose sono sensibili all'ordine. Che sia uguale o meno a$Bl_{Y\cup Z}(X)$ probabilmente dovrebbe dipendere da come $Y$ e $Z$ si intersecano, ma al momento non ho esempi istruttivi a portata di mano, e fondamentalmente tutta la teoria generale per la risoluzione delle singolarità è sviluppata assumendo un ingrandimento lungo un centro liscio, che ti riporta nella situazione di 2.