Mostra che date due norme sono equivalenti

Question

L'ho dimostrato$\sigma$è un prodotto scaler acceso$H$. Quindi la domanda (a) è fatta.

abbiamo$N_\sigma^2(f)=\lVert f\rVert^2=\sigma(f,f)=f(1)^2+\int_0^1 \frac{e^x(f'(x))^2}{1+x^2}\,dx$.

Non sono in grado di stimare le disuguaglianze. Per favore aiuto.

Answer 1

Bene, hai

$$\begin{aligned}N_\sigma^2 (f) &= f^2(1)+\int_0^1 \frac{e^x \left(f^\prime(x)\right)^2}{1+x^2} \ dx\\ &\le f^2(1) + e \int_0^1 \left(f^\prime(x)\right)^2 \ dx\\ &\le e\left(\Vert f \Vert_\infty^2+ \int_0^1 \left(f^\prime(x)\right)^2 \ dx\right) \end{aligned}$$

e quindi$N_\sigma(f) \le \sqrt e N^\prime(f)$.

Ora usando la disuguaglianza

$$\vert f(x) \vert \le \vert f(1) \vert + \left(\int_0^1 \left(f^\prime(x)\right)^2 \ dx\right)^{1/2}$$fornito nel suggerimento della domanda che ricevi

$$\Vert f \Vert_\infty \le \vert f(1) \vert + \left(\int_0^1 \left(f^\prime(x)\right)^2 \ dx\right)^{1/2} $$e$$\Vert f \Vert_\infty^2 \le 2 \left(\vert f(1) \vert^2 + \int_0^1 \left(f^\prime(x)\right)^2 \ dx\right) $$come$2 ab \le a^2+b^2$per ogni$a,b \in \mathbb R$.

Aggiungendo$\int_0^1 \left(f^\prime(x)\right)^2 \ dx$su entrambi i lati di quest'ultima disuguaglianza si ottiene

$$\begin{aligned}\Vert f \Vert_\infty^2 +\int_0^1 \left(f^\prime(x)\right)^2 \ dx &\le 2 \vert f(1) \vert^2 + 3\int_0^1 \left(f^\prime(x)\right)^2 \ dx\\ &\le 6 \left( \vert f(1) \vert^2 + \int_0^1 \frac{e^x \left(f^\prime(x)\right)^2}{1+x^2} \ dx\right) \end{aligned}$$come$\frac{1}{2} \le \frac{e^x}{1+x^2}$per$x \in [0,1]$.

Infine$$(1/ \sqrt 6) N^\prime(f) \le N_\sigma(f).$$