numeri primi e mcd [duplicato]

Question

Volevo solo essere sicuro di un problema.

Permettere$m, p= \text{prime}∈ ℕ-\{0\}$

Se $$m≤p^k,$$

esiste il seguente? $$\gcd⁡(m,p)≠1⟺ \gcd⁡(m,p^k)≠1$$ e fa la restrizione $$m≤p^k$$ importa all'esistenza?

Grazie in anticipo!!!

Answer 1

$m \le p^k$non è richiesto. Se gcd$(m,p) \neq1$ poi $m$ e $p$ deve condividere un fattore comune, perché l'unico fattore di $p$ è $p$ (e uno, ma non dovremo preoccuparci di questo) almeno allora $p$ deve essere un fattore di $m$. Se ora guardiamo a gcd$(m,p^k)$ $p^k$ avrà un fattore di $p$ e lo sappiamo già $m$ ha un fattore di $p$ e quindi mcd$(m,p^k) \neq1$ poiché deve essere almeno uguale a $p$. Non abbiamo mai richiesto$m \le p^k$.