ODE $y'+ x\sin( 2y) = x e^{-x^2} \cos^2 (y)$

Question

Ho la seguente ODE:

$$y'+ x\sin (2y) = x e^{-x^2} \cos^2 (y)$$

Sono bloccato cercando di portarlo in una forma lineare. ho provato$\sin (2y) = \sin y \cos y $ e poi dividendo l'ODE per $( \cos y ) ^{-1} $. Questo non mi ha portato a niente così ho provato a dividere per$( \sin y )^{-2} $anziché. Anch'io sono rimasto bloccato. Penso di dover fare una sostituzione ma non so quale.

Grazie.

Answer 1

SUGGERIMENTO

$$y'+x\sin(2y)=xe^{-x^2}\cos^2y\\\implies\sec^2y\ y' + 2x\tan y=xe^{-x^2}\ , \text{\{let $\ tan y = t \ implica \ sec ^ 2 y \ y '= t'$\}}\\\implies t' +2xt =xe^{-x^2}$$

Answer 2

$$y'+ x\sin( 2y) = x e^{-x^2} \cos^2 (y)$$ Moltiplicato per $2x'$ e sostituire $u=x^2$: $$2+ 2xx'\sin( 2y) = 2xx' e^{-x^2} \cos^2 (y)$$ $$2+ u'\sin( 2y) = -( e^{-u})' \cos^2 (y)$$ $$2(\tan y)'+ 2u'\tan( y) = -( e^{-u})' $$ Moltiplicato per $e^u$: $$2(e^u\tan y)' = -e^u( e^{-u})' $$ $$2d(e^u\tan y) = -e^ud( e^{-u}) $$ Integrare. $$\boxed {2e^{x^2}\tan y -x^2=C} $$

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Nota che puoi anche riscrivere la DE come: $$(e^{x^2} \tan (y))'=x$$ E integra.