Oltre il conteggio con simmetria

Question

Un comitato del Senato ha $5$ Democratici e $5$Repubblicani. In quanti modi possono sedersi attorno a un tavolo circolare se tutti i membri di ogni gruppo si siedono uno accanto all'altro? Due disposizioni dei posti sono considerate uguali se, per ogni persona, alla sua sinistra è la stessa in entrambe le disposizioni.

Il mio approccio:

Possiamo organizzare ogni gruppo in $5!$modi. Possiamo organizzare il gruppo nel suo insieme$2!$ modi ie $RD$ e $DR$. So che sembra essere lo stesso a causa della disposizione circolare. Tuttavia, voglio sovrastimare le simmetrie il più possibile in modo da poterle dividere in una volta. Questo ci porta a$5!\times 5!\times 2$. Ora ogni disposizione è finita$10$ volte ($10$rotazioni). Questo porta alla mia risposta$\dfrac{5!\times 5!\times 2}{10}$. Credo che questo sia sbagliato perché per semplice caso di$2$ Democratici e $2$ Repubblicani, questo approccio porta a $2$accordi. Ma si può facilmente verificare che ci siano$4$possibili accordi. Qualcuno può aiutarmi a scoprire l'errore e la risposta corretta?

Answer 1

Poiché ogni disposizione è completamente determinata dall'ordinamento di ciascuna parte all'interno del proprio blocco, $5!\cdot5!$conta già ogni arrangiamento esattamente una volta. La stessa disposizione può verificarsi in qualsiasi di$10$ posizioni intorno al tavolo, quindi se vuoi davvero contare e poi sbarazzarti del conteggio, dovresti farlo $10\cdot5!\cdot5!$arrangiamenti che si distinguono non solo per l'ordine delle persone attorno al tavolo, ma anche per la loro posizione assoluta al tavolo. Quindi divideresti per$10$ prendere in considerazione il fatto che le disposizioni rotazionalmente equivalenti non sono distinte, quindi otterresti $\frac{10\cdot5!\cdot5!}{10}$ accordi.