Operatore $A\ \text{bounded from below}\iff A^*\ \text{surjective}$

Question

Permettere $H$ essere uno spazio di Hilbert, $A\in H'$ un operatore limitato e $A^*$ è aggiunto. $A$ è chiamato limitato dal basso se esiste un file $b>0$, tale che $b ||h||\le ||Ah||, \forall h\in H$. Allora come si può stabilirlo$$A\ \text{bounded from below}\iff A^*\ \text{surjective}$$ Il suggerimento dato è quello di utilizzare il teorema della gamma chiusa $Ran(A)$ è chiuso iff $Ran(A^*)$è chiuso. Ma non sono sicuro di come collegare chiusura e suriettività. Qualsiasi aiuto sarà apprezzato.

Answer 1

Penso che tu possa fare quanto segue: da $A$ è delimitato sotto e $H$ è completo, ce l'hai $Ran(A)$è chiuso. Che significa che$Ran(A)$ è uno spazio di Hilbert.

Ancora una volta essendo delimitato di seguito, ne consegue che $A_0\colon H\to Ran(A)$, la restrizione di $A$nel suo raggio d'azione, è un isomorfismo lineare (anche bicontinuo). Quindi hai quello$A_0^* \colon Ran(A)' \to H'$ è anche un isomorfismo lineare di $Ran(A)' = Ran(A)$ in $H'=H$.

E penso che tu possa dimostrarlo $A_0^*$ è solo $A^*$ limitato a $Ran(A)$. Perciò,$A^*$, potrebbe non essere più iniettiva, ma è sicuramente suriettiva.

Per il contrario, penso che tu possa fare qualcosa di simile. Se$A^*$ è suriettivo quindi definire $H_0\doteq \ker (A^*)^\perp $, che è uno spazio di Hilbert, e $A^*_0\colon H_0\to H$, che è un isomorfismo lineare da allora $A^*$ è suriettivo.

Poi $(A_0^*)^*\colon H'\to H_0'$è un isomorfismo lineare (bicontino come sempre), quindi è delimitato al di sotto. Ancora una volta, da allora$H$ e $H_0$ sono spazi di Hilbert, ne consegue $H'=H$ e $H_0' = H_0\subset H$.

E penso che tu possa dimostrarlo $(A^*_0)^*$ coincide con $A^{**} = A$. E hai finito.