Operatore laplaciano 3D

Question

Non sono riuscito a trovare l'equivalente delle differenze finite dello stencil a 5 punti per l'operatore laplaciano.

In 2 dimensioni per me è chiaro che, usando il metodo delle differenze finite: $$ \nabla_{2D}^2u = \frac{1}{h^2} \left( u_{1,0} + u_{-1,0} + u_{0,1} + u_{0,-1} -4 u_{0,0} \right) $$ (h è la griglia / gradino delle dimensioni)

Ma non sono sicuro che sia completamente simmetrico per il caso tridimensionale. Posso semplicemente aggiungere i termini che si riferiscono alla 3a dimensione?$$ \nabla_{3D}^2u = \frac{1}{h^2} \left( u_{1,0,0} + u_{-1,0,0} + u_{0,1,0} + u_{0,-1,0} + u_{0,0,1} + u_{0,0,-1} -6 u_{0,0,0} \right) $$

Sarebbe utile anche una fonte in cui potrei trovare i diversi termini di precisione per il laplaciano 3D.

Answer 1

Sì, quella differenza finita è corretta. Puoi ottenerlo usando una differenza finita in ciascuna direzione per l'operatore di Laplace in ogni coordinata.

\begin{align} \nabla^2 u =& \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\\ \approx& \frac{1}{h^2}[u(x + h, y, z) - 2u(x, y, z) + u(x -h, y, z)]\\ &+ \frac{1}{h^2}[u(x, y + h, z) - 2u(x, y, z) + u(x, y - h, z)]\\ &+ \frac{1}{h^2}[u(x, y, z + h) - 2u(x, y, z) + u(x, y, z - h)]\\ =& \frac{1}{h^2}[u(x + h, y, z) + u(x -h, y, z) + u(x, y + h, z) + u(x, y - h, z)\\ &+ u(x, y, z + h) + u(x, y, z - h) - 6u(x, y, z)]\, . \end{align}

In alternativa, potresti interpolare un polinomio che passa attraverso i punti del tuo stencil e quindi calcolare il suo laplaciano e valutarlo a $(x, y, z)$.