Perché è $e$irrazionale? [duplicare]

Question

Non cerco una prova, ma piuttosto una spiegazione, perché so che c'è qualcosa che non va nel mio pensiero.

Quindi lo so $$ e = \lim_{n\to\infty} (1+\dfrac{1}{n})^n $$ E anche $$ e = \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} $$

E sono confuso sul perché $e$ può essere irrazionale, poiché entrambe queste definizioni sono un numero razionale (?).

So che l'aggiunta sotto i razionali è chiusa, quindi sono confuso poiché entrambi possono essere riorganizzati in qualcosa con razionali (ad es. $(\dfrac{n+1}{n})^n$), quindi immagino che la mia domanda sia: perché questi razionali convergono in un irrazionale?

Grazie.

Answer 1

L'errore sta nell'affermazione che "entrambe le definizioni sono un numero razionale". Non vero. Entrambi esprimono$e$come limite di una sequenza di numeri razionali. Il tuo errore sta nell'assunto nascosto (e falso) che anche il limite di una sequenza convergente di numeri razionali debba essere razionale.

Answer 2

Il fatto che i razionali siano chiusi sotto addizione significa che la somma di due razionali è di nuovo un razionale. Per induzione puoi provare che questo funziona per qualsiasi numero finito di razionali. Ma i razionali non si chiudono sotto somme infinite.

Answer 3

Solo perché ogni somma parziale (finita) è un numero razionale, ciò non significa che il limite lo sia.

Prendi la ben nota costante come esempio: $\pi = 3+0.1+0.04+...$

Ogni somma parziale è razionale, ma il limite è un numero irrazionale ben noto.

Allo stesso modo, per ogni numero naturale finito $n$, $1/n > 0$ ma il limite $\lim_{n\to\infty} 1/n \not > 0$.