Perché esiste questa sequenza?

Question

Abbiamo il seguente teorema dal Real Analysis Book 3 di Stein e Shakarchi che dice se$H$è uno spazio di Hilbert,$f \in H$, e$S$è un sottospazio chiuso di$H$, quindi c'è un elemento$g_0 \in S$tale che$\|f-g_0\| = \inf_{g \in S}\|f-g\|$.

La prova inizia lasciando$d = \inf_{g \in S}\|f-g\|$e considerando una sequenza$\{g_n\} \subset S$con la proprietà che

$$\|f-g_n\| \rightarrow d \text{ as }n \to \infty $$

Non riesco a capire perché una sequenza del genere$\{g_n\}$dovrebbe esistere . La mia intuizione mi sta dicendo che devo usare la caratterizzazione epsilon di infimum. Cioè, se$A$è un insieme di numeri reali e$d := \inf A$, poi

$$\forall \epsilon > 0, \exists x \in A \text{ such that }x < d + \epsilon$$

Answer 1

Per ogni$n\in\mathbb{N}$ci deve essere un elemento$g_n\in S$tale che$d\leq ||f-g_n||<d+\frac{1}{n}$, questo in effetti deriva dalla caratterizzazione epsilon di infimum. Per il teorema di compressione$||f-g_n||\to d$.

Answer 2

Dato$\epsilon > 0$, possiamo trovare$g\in S$insieme a$||f-g|| < d + \epsilon$. Per non supporre; poi per tutti$g \in S$,$||f-g|| \geq d + \epsilon$, che significa che$d + \epsilon$è un limite inferiore per$\{||f-g|| \big| g \in S\}$. Ma$d + \epsilon > d$, una contraddizione poiché$d$è il massimo limite inferiore.

Ora per qualsiasi$n$, impostare$\epsilon = 1/n$e usa il fatto di cui sopra per trovare$g_n$insieme a$||f-g_n|| < d + 1/n$. Da$d \leq ||f - g_n||$per definizione, abbiamo$||f-g_n||\rightarrow d$.