Perché pi greco non si ripete?

Question

Ok, ho appena imparato il Pigeonhole Principle (PHP) e la sua applicazione con espansione decimale.

Per trasmettere chiaramente la mia domanda, ho bisogno di trasmettere la mia comprensione di PHP per quanto riguarda l'espansione decimale, quindi ecco qui ...

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Con il lungo processo di divisione, possiamo ottenere un numero infinito di resti da allora $0$è anche considerato un resto (fare riferimento a Fig 1per ottenere ciò che intendo) che è$>$numero finito di possibili valori di resto (per teorema quoziente-resto,$0≤r<d $)

→ Con PHP , otterremo sicuramente un resto il cui valore è uguale al valore di un resto precedente (Nella Figura 1, otteniamo un risultato positivo quando r ₇ = r ₁ )

→ Pertanto, a un certo punto, la sequenza di resti si ripeterà all'infinito

→ Questa sequenza di resti può essere zero o non zero

→ Se è una sequenza di zeri, otteniamo decimali finali come $2$(come in $2.\color{red}{\overline{000}}\ldots$$... $ ) o $ 3,625 $ (come $ 3,625 \ color {red} {\ overline {000}} \ ldots$$...$)

→ Se è una sequenza di non zero, otteniamo un decimale ripetitivo simile $3/14$=$0.2\color{red}{\overline{142857}}\ldots$

La mia domanda: allora perché PI non rientra in nessuna di queste categorie? In qualche modo viola PHP ?

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Mi scuso in anticipo per gli screenshot.

Fig. 1:

Answer 1

Il secondo passo della tua inferenza deve essere meglio giustificato. Nota che nella tua configurazione il file divisor$d$deve essere un numero intero affinché l'applicazione di PHP abbia senso. Ora ci sono due casi.

1. Il dividendo è un numero intero, rappresentato come $n.00000\ldots$. Quindi puoi usare PHP per sostenere che in corrispondenza di un certo resto ottenuto dopo che il punto decimale si ripete. Quindi l'hai fatto$r_k=r_{k+n}$ per $k,n$ottenuto dopo i punti decimali. Quindi è necessario sostenere ulteriormente che abbattere$0$ a $r_{k+n}$ restituisce un modello di divisione periodico della lunghezza $n$ da lì in avanti, che alla fine restituisce un decimale ripetitivo nella tua risposta.

2. Il dividendo non è un numero intero, ma un numero reale arbitrario. In questo caso, PHP ti dice di ottenere rimanenze duplicate. Ma non sarai in grado di sostenere ulteriormente che l'elenco dei resti alla fine si ripete. Ad esempio, considera la divisione$2$ in $0.10100100010000\ldots$ (qui ho $1$ seguito da $n$ zeri per $n=1$ per $\infty$). Il tuo elenco di resti è$0,1,0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0\ldots$senza ripetizioni. Tuttavia, anche se hai ottenuto una sequenza ripetuta di resti, questo non significherebbe necessariamente che la tua risposta è un decimale ripetuto. Ad esempio, considera qualsiasi numero reale$x$, rappresentato come un decimale $a_0.a_1a_2a_3\ldots$. Fai la banale divisione lunga di$1$ in $x$. Otterrai il resto$0$ ogni volta, ma la sequenza decimale nel quoziente non deve essere (eventualmente) ripetuta.

Ora, per quanto riguarda $\pi$, deve adattarsi al secondo caso , perché se inizi la tua divisione lunga con il dividendo e il divisore che sono numeri interi, allora stai già calcolando un numero razionale.

Answer 2

$\pi$è un numero trascendentale e non razionale. L'argomento PHP sembra applicarsi ai numeri razionali.

Answer 3

Hai assunto di poter calcolare $\pi$ dividendo un numero con un numero di cifre noto e finito per un altro numero con un numero di cifre noto e finito.

Questa è la definizione stessa di cosa significa per un numero essere razionale. E in effetti il ​​tuo argomento è una prova corretta che la rappresentazione decimale di qualsiasi numero razionale si ripete.

Ma $\pi$non è razionale. Non può essere calcolato dividendo un numero con un numero di cifre noto e finito per un altro numero con un numero di cifre noto e finito.