Problema da Royden Real Analysis (Lebesgue Outer Measure Problem)

Question

Di seguito è riportato il problema e il mio tentativo di soluzione, tuttavia, ho una domanda al riguardo.

Problema: mostra che un set$E$ è misurabile se e solo se per ciascuno $\epsilon > 0$, c'è un set chiuso $F$ e aprire il set $\mathcal{O}$ per cui $F \subseteq E \subseteq \mathcal{O}$ e $m^*(\mathcal{O} \setminus F) < \epsilon$.

(il mio tentativo) Soluzione: $E$ è misurabile se e solo se valgono i seguenti due:

$$(i) \text{ For each } \epsilon > 0, \text{ there exists an open set } \mathcal{O} \text{ containing } E \text{ for which } m^*(\mathcal{O} \setminus E) < \epsilon$$

$$(ii) \text{ For each } \epsilon > 0, \text{ there exists a closed set } F \text{ contained in } E \text{ for which } m^*(E \setminus F) < \epsilon.$$

In particolare, abbiamo quello

$$(i) \text{ For } \frac{\epsilon}{2} > 0, \text{ there exists an open set } \mathcal{O} \text{ containing } E \text{ for which } m^*(\mathcal{O} \setminus E) < \frac{\epsilon}{2}$$

$$(ii) \text{ For } \frac{\epsilon}{2} > 0, \text{ there exists a closed set } F \text{ contained in } E \text{ for which } m^*(E \setminus F) < \frac{\epsilon}{2}.$$

Dal momento che entrambi $E$ e $F$ sono insiemi misurabili, abbiamo dalla proprietà di escissione

$$(i) \text{ For } \frac{\epsilon}{2} > 0, \text{ there exists an open set } \mathcal{O} \text{ containing } E \text{ for which } m^*(\mathcal{O}) - m^*(E) < \frac{\epsilon}{2}$$

$$(ii) \text{ For } \frac{\epsilon}{2} > 0, \text{ there exists a closed set } F \text{ contained in } E \text{ for which } m^*(E) - m^*(F) < \frac{\epsilon}{2}.$$

Aggiungendo entrambe le equazioni si ottiene

$$(iii) \text{ For } \frac{\epsilon}{2} > 0, \text{ there exists a closed set } F \text{ and} \text{ open set } \mathcal{O} \text{, such that, } F \subseteq E \subseteq \mathcal{O} \text{ for which} $$ $$m^*(\mathcal{O}) - m^*(E) + m^*(E) - m^*(F) < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}$$ $$m^*(\mathcal{O}) - m^*(F) < \epsilon.$$ Da $F$ è misurabile, abbiamo dalla proprietà di escissione

$$m^*(\mathcal{O} \setminus F) < \epsilon,$$ come desiderato.

La domanda che ho è, posso dire "per $\frac{\epsilon}{2} > 0$".

Answer 1

Penso sia meglio dire per la condizione sufficiente: let $\varepsilon>0$, per regolarità delle misure esterne, $\exists F$ chiuso e $O$ aperto st $m^*(E\setminus O)<\frac{\varepsilon}{2}$ e $F\subset E$ st $m^*(E\setminus F)<\frac{\varepsilon}{2}$. Quindi si applica l'additività numerabile.

Per la condizione di necessità, basta usare la monotonia delle misure esterne.

Questo argomento dovrebbe evitare la tua domanda.