Problema di coefficiente nella classe $\Sigma$

Question

Permettere $\Sigma$ essere la classe delle funzioni olomorfe univalenti (iniettive) su $\mathbb{C}\backslash \mathbb{D}$ dove $\mathbb{D}$è l'unità disco chiusa. Analogo alla famosa congettura di Bieberbach è il problema di trovare limiti netti per il coefficiente$b_n$ delle funzioni $$g(z) = z + b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2} + \cdots$$ in $\Sigma.$Tuttavia questo problema è significativamente più complicato della congettura di Bieberbach poiché non ci sono buoni candidati per le funzioni estremali qui. La congettura iniziale$$|b_n| \leq \frac{2}{n+1}$$ è falso e, per quanto ne so, otteniamo solo i limiti netti per $b_2$ et $b_3$, vale a dire $$|b_2| \leq \frac{2}{3} \quad \text{and} \quad |b_3| \leq \frac{1}{2} + e^{-6}.$$ Ci sono anche alcuni teoremi che danno maggiori informazioni se aggiungiamo condizioni extra alla funzione $g$ma quelli qui non mi interessano. La mia domanda è abbastanza generale:

Quali sono i recenti risultati riguardanti i limiti netti per i coefficienti $b_n$nel caso generale? Ad esempio, lo sappiamo per$|b_4|$o siamo ancora bloccati? Ci sono nuovi candidati per le funzioni estreme?

Sorprendentemente queste informazioni sono difficili da ottenere in letteratura da allora $\Sigma$ è molto meno studiato di $\mathcal{S}$. Grazie per qualsiasi aiuto.

Answer 1

Gli ultimi risultati non sono molto recenti. La maggior parte di loro è menzionata nel documento

MR1162188 Carleson, Lennart; Jones, Peter W. Sui problemi di coefficiente per funzioni univalenti e dimensione conforme. Duke Math. J. 66 (1992), n. 2, 169–206.

Permettere $B_n=\sup_\Sigma |b_n|$. La domanda riguarda l'ordine di diminuzione di$B_n$. Una stima facile è$B_n\leq n^{-1/2}$, e dice il vecchio risultato di Clunie e Pommerenke $B_n\leq Cn^{-0.503}$. Non sono sicuro che questo sia mai stato migliorato, se lo è stato, quindi di molto poco. Carleson e Jones lo hanno dimostrato$\gamma:=-\lim \log B_n/\log n$esiste. (Quindi da Clunie-Pommerenke,$\gamma>0.5$). Le funzioni estremali sono apparentemente mappe conformi su complementi di alcuni insiemi di Julia o altri frattali auto-simili. Usando i set di Julia, Carleson e Jones sono stati in grado di dimostrarlo$\gamma\leq 0.79$, (assistito dal computer), e lo ipotizzò in effetti $\gamma=3/4$. Probabilmente questa congettura è inedita ma è stata discussa tra gli specialisti negli anni '90. Da allora non sono a conoscenza di progressi sostanziali.