Problema di parola logaritmo comune

Question

Ogni volta che un raggio di luce passa attraverso una lastra di vetro, perde $\frac{1}{10}$della sua intensità. Quanti pezzi di lastre di vetro simili sono necessari per rendere l'intensità della luce inferiore a$\frac{1}{3}$ del suo valore originale?

Permettere $x$essere il valore di intensità originale del raggio di luce. Permettere$n$ essere il numero di lastre di vetro simili necessarie per rendere l'intensità della luce inferiore a $\frac{1}{3}$ del suo valore originale.

Così $x(\frac{1}{10})^n = (\frac{2}{3})x$

$(\frac{1}{10})^n = (\frac{2}{3})$

$log_{10} {10^-n} = log_{10} {2} – log_{10} {3}$

$n × log_{10} {10} = log_{10} {2} – log_{10} {3}$

Da $log_{10}{2} ≈ 0.3010$ e $log_{10}{3} ≈ 0.4771$, poi

$n ≈ 0.3010 – 0.4771$

$n ≈ 0.3010 – 0.4771$

$n ≈ -0.1761$

Ho una risposta negativa per $n$. Qui è dove sono rimasto bloccato. Eventuali commenti e suggerimenti saranno molto apprezzati. Grazie in anticipo.

Answer 1

Il raggio perde $\frac{1}{10}$della sua intensità. Ciò significa che l'intensità del raggio dopo che ha lasciato la lastra di vetro è$\frac{9}{10}x$ (supponendo che $x$ è l'intensità originale).

Answer 2

L'intensità trasmessa da una singola piastra è $0.9$e da $n$ piatti è $0.9^n$. Se vuoi il più piccolo$n$ tale che questo valore non sia maggiore di $0.3333$,

$$0.9^n\le0.3333$$ poi

$$n\log0.9\le \log0.3333$$

$$n=\left\lceil\frac{\log0.3333}{\log0.9}\right\rceil=11.$$

Dai un'occhiata:

$$0.9^{10}=0.3487\cdots,\\0.9^{11}=0.3138\cdots$$

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Appunti:

• La base del logaritmo non ha importanza, poiché stai prendendo un rapporto.

• Poiché il rapporto non è vicino a un numero intero, utilizzando l'approssimazione $0.3333$ è ok.

Answer 3

Dopo aver attraversato un bicchiere, rimanendo intensità $= \frac{9x}{10}$ se l'intensità iniziale è $x$.

Dopo il passaggio $n$ bicchieri, l'intensità rimanente $= (\frac{9}{10})^n \times x \lt \frac{x}{3}$

Answer 4

Puoi anche usare solo alcuni calcoli di base- $$\frac{dx}{dn}=\frac{x}{10}$$ $$\Rightarrow \int_{x}^{\frac{x}{3}}\frac{1}{x}dx=-\int_{0}^{n}\frac{1}{10}dn$$ $$\Rightarrow \ln{\frac{1}{3}}=-\frac{n}{10}$$ $$\Rightarrow \ln{3}=\frac{n}{10}$$ $$\Rightarrow n≈10.981…$$

Di cui abbiamo bisogno $n$ essere un numero naturale, $\fbox{n≥11}$