Proprietà di integrazione

Question

Permettere $T>0$fisso. Permettere$f,g : [0,T] \subset \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ funzioni differenziabili tali che, per alcuni $c>1$, $$f(x) \geq c, \; \forall \; x \in [0,T] .$$

lo so $f\cdot g$ è anche integrabile.

Domanda. È vero che$$\int_{0}^T c \cdot g(x) \; dx \leq \int_{0}^T f(x) \cdot g(x) \; dx?$$

Ho pensato di applicare l'integrazione per parti per provare a dimostrarlo, ma non sono riuscito a concludere nulla.

Answer 1

Questo è falso. $f(x)=c+1$ e $g(x)=-1$ fornisce un controesempio.

Tuttavia, se lo abbiamo anche $g(x) \geq 0$ poi $f(x)g(x)-cg(x) \geq 0$ così $\int_0^{T} [f(x)g(x)-cg(x)] \geq 0$ che dà $\int_0^{T} f(x)g(x) \geq c \int_0^{T} f(x)dx$.