Prova che $18!+1$ è divisibile per $19$ e $23$ [duplicare]

Question

Prova che $18!+1$ è divisibile per $19$ e $23$

Per $19$ possiamo semplicemente usare il teorema di Wilson ma non sono riuscito a pensare a come provare per 23. Un modo è moltiplicare $(-5)(-6)(-7)(-8)(-9)(-10)(-11)(11)(10)(9)…(2)(1)$ e poi trova il suo resto con $23$e quindi aggiungi $1$ad esso. Ma sicuramente c'è un modo migliore, giusto?

Answer 1

Puoi ancora usare il teorema di Wilson per iniziare: lo sai $22!\equiv -1\pmod{23}$. Quindi osservalo

$$22!\equiv 18!(-4)(-3)(-2)(-1)\equiv\; ...\,?\pmod{23}$$