"Prova" che zero è uguale a uno sottraendo numeri all'infinito

Question

Di recente, mi sono imbattuto in una "prova" che $0=1$. Ecco come va:

Permettere $x = 1-1-1-1-1-1-1-\cdots$. Da$1-1=0$, $x=0-1-1-1-1-1-1-\cdots$. Ora, mettiamo tra parentesi il file$1-1-1-1-1-1-\cdots$ su entrambi i lati e otteniamo $x=1-(1-1-1-1-1-1\cdots)=0-(1-1-1-1-1-1-\cdots)$. Quindi, otteniamo$1-x=0-x$. Così,$1-x+x=0-x+x$. Quindi,$1+0=0+0$ e così $1=0$.

Non sono riuscito a capire cosa è andato storto in questa dimostrazione. Il risultato chiaramente non è vero ma la prova sembra essere vera. Ho quindi chiesto ad alcune persone e non sono riuscite a capire cosa fosse andato storto. Qualcuno può venire per favore aiutami a identificare cosa è andato storto? Grazie.

Answer 1

Le cosiddette somme infinite in matematica hanno una definizione formale come serie e si basa sul concetto di somma parziale :$$a_1+a_2+ \cdots =\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n=\lim\limits_{n \to \infty}\sum\limits_{i=1}^{n}a_i$$ dove $S_n=\sum\limits_{i=1}^{n}a_i$ è una somma parziale.

Veniamo ora al tuo esempio: se consideri $1-1-1-1-1-1-1-...$, quindi dovremmo costruire una somma parziale per esso $$\begin{array}{} S_1=1 \\ S_2=1-1=0 \\ S_3=1-1-1=-1 \\ S_4=1-1-1-1=-2 \\ S_5 =1-1-1-1-1=-3 \\ \cdots \\ S_n=2-n \\ \cdots \end{array}$$ Come vedi la somma parziale non ha limiti finiti, il che significa quell'espressione $1-1-1-1-1-1-1-...$ non è un numero finito e non può essere utilizzato come tale.

Un esempio divertente di tale "prova" può essere ottenuto se si considera l'espressione $1-1+1-1+1-1+1-...$ e non indagare sulla convergenza: $$0=(1-1)+(1-1)+\cdots= 1+(-1+1)+(-1+1)+\cdots=1$$

Answer 2

Quando scrivi una serie infinita, dovresti prima controllare se converge. In caso contrario, le normali procedure come il bracketing non funzionano più.

Ad esempio, ecco una prova simile (falsa) che tutti i numeri interi lo sono $0$: Permettere $x = 1 + 1 + 1 + \cdots $. Per qualsiasi numero intero$n > 0$, parentesi la prima $n$ termini in modo che $x = (1+1+\cdots+1) + 1 + 1 + 1+ \cdots = n + x$. Quindi$n=0$.

Answer 3

Permettere $x=1−1−1−1−1−1−1-\cdots.$

Da $1−1=0$

$x=0-1-1-1-1-1-1-\cdots$.

Ora, mettiamo tra parentesi il file $1-1-1-1-1-1-\cdots$ su entrambi i lati e otteniamo

--> $x=1-(1-1-1-1-1-1\cdots)=0-(1-1-1-1-1-1-\cdots)$. <--

Ecco l'errore. Avere un segno meno prima delle parentesi nega tutto all'interno.

Quindi diventa effettivamente:

$$x = 0 - (1 + 1 + \cdots)$$

E non credo sia un'operazione matematica valida da cancellare $\infty$ su entrambi i lati, come $\infty$ è solo un segnaposto per un numero molto grande (non un numero elevato concreto, quindi $\infty_{left} \ne \infty_{right}$).

Answer 4

Lasciando da parte le questioni di convergenza, si noti che la sottrazione non è associativa.

Con solo tre espressioni dello stesso tipo:

$(1-1)-1=-1$, e

$1-(1-1)=1$

Ho appena dimostrato $1 = -1$???