Prova quello $\mathbb{P}^1$ non è affine.

Question

Sono confuso dall'ultima riga nella dimostrazione che $\mathbb{P}^1$ non è affine, come presentato nelle note di geometria algebrica di Ravi Vakil.

In primo luogo, calcola l'anello delle sezioni globali. Si scopre che$\Gamma(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1})=k$. Va tutto bene. Quello che mi confonde è la riga successiva. Dice: "Se$\mathbb{P}^1$ fossero affini, allora sarebbe $\operatorname{Spec}\Gamma(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1})=\operatorname{Spec}k$, cioè un punto. Ma non lo è - ha molto senso. "

Non so cosa pensare di quella frase. Nella seconda uguaglianza, non sta solo prendendo$\operatorname{Spec}$di entrambi i lati della prima uguaglianza? Se è così, cosa c'entra questo con l'ipotesi$\mathbb{P}^1$è affine? Inoltre, perché lo sappiamo$\operatorname{Spec}\Gamma(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1})$dovrebbe avere "molti punti"? Insomma, cosa mi manca qui?

Modifica: la domanda collegata non risponde alla mia domanda. Sto chiedendo una linea specifica in questa dimostrazione data da Vakil. Le domande collegate chiedono solo perché $\mathbb{P}^1$non è affine in generale. Inoltre, nessuna delle risposte fornite qui risponde alla mia preoccupazione. La risposta scelta utilizza la teoria delle dimensioni, che chiaramente non è ciò che Vakil aveva in mente poiché la teoria delle dimensioni non è stata ancora discussa

Answer 1

Questo è emerso molte volte in matematica. $\text{Spec } \Gamma(X, \mathcal{O}_X)$ è l'affinità di $X$; è lo schema affine universale a cui$X$ mappe, quindi $X$ è affine se e solo questa mappa universale $X \to \text{Spec } \Gamma(X, \mathcal{O}_X)$è un isomorfismo. Ciò deriva dalle proprietà generali delle aggiunte; vedi, ad esempio, questa risposta .

(Confronta: l'abelianizzazione $G/[G, G]$ di un gruppo è il gruppo abeliano universale a cui $G$ mappe, quindi un gruppo è abeliano se è la mappa universale $G \to G/[G, G]$ è un isomorfismo.)

Ravi calcola che l'affinità di $\mathbb{P}^1$ è un punto, quindi $\mathbb{P}^1$è affine se e solo se la mappa canonica a un punto è un isomorfismo se e solo un punto. Ma$\mathbb{P}^1$ ha $|L|+1$ punti su qualsiasi estensione di campo $L$ di $k$ (Presumo $k$ è un campo per semplicità ma cose simili si possono dire in generale).