Qual è il nome di questa quantità?

Question

Dati due vettori $X$ e $Y$ (lunghezza $n$, campionato da variabili casuali), qual è il nome della seguente quantità:

$$ \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(x_i-y_j)^2 $$

Ho "inventato" la formula per quantificare la varianza tra due vettori e immagino che la formula sia una sciocchezza o, in caso contrario, data la sua banalità - una quantità ben nota. So che non è la covarianza tra$X$ e $Y$, ma cos'è invece?

Modifica: ovviamente, nel contesto di previsioni con ad esempio dati $X$ e previsione $Y$, questo corrisponderebbe all'errore quadratico medio (eccetto per la costante di normalizzazione che sarebbe $\frac{1}{n}$). Mi chiedo però se abbia un nome (e un significato) nel contesto delle statistiche. vedere il commento di Stephan Kolassa

Answer 1

Questa è una misura della dispersione al quadrato tra due serie di valori ma non tra valori appaiati. Dubito che abbia un nome.

In effetti non è necessario avere lo stesso numero di file $x$ e $y$ valori e utilizzando il $\frac1n$ calcolo della varianza, puoi dire:

$$\frac{1}{mn}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n(x_i-y_j)^2\qquad \\\qquad\qquad= (\bar x - \bar y)^2 + \widehat{\text{Var}}(x) +\widehat{\text{Var}}(y)$$

quindi una combinazione della distanza al quadrato tra i centri dei due insiemi più le dispersioni quadrate dei singoli insiemi.