Qual è il rango di un vettore?

Question

Dall'algebra lineare sappiamo che il rango di una matrice è il numero massimo di colonne o righe linearmente indipendenti in una matrice. Quindi, per una matrice , il rango può essere determinato mediante semplice riduzione di riga, determinante, ecc. Tuttavia, mi chiedo come il concetto di rango si applichi a un singolo vettore, ovvero$\mathbf{v} = [a, \ b, \ c]^{\top}$. La mia intuizione suggerisce che il rango deve essere uguale a 1, ma non sono nemmeno sicuro che sia definito per un vettore. Qualcuno può aiutare a far luce su questo problema?

Grazie in anticipo.

Answer 1

Un vettore è un elemento in uno spazio vettoriale. In quanto tale, non ha rango. Una matrice, nel contesto dell'algebra lineare, è interessante perché rappresenta una trasformazione lineare tra spazi vettoriali. È la trasformazione lineare che ci interessa, non il rettangolo di numeri che chiamiamo matrice. Una trasformazione lineare ha un rango e quel rango è la dimensione dell'immagine della trasformazione lineare. È un concetto interessante poiché misura quanto è grande la trasformazione lineare. Accade così che quando la trasformazione lineare è rappresentata come una matrice, il rango può essere calcolato in vari modi convenienti.

Con questo in mente, la somiglianza superficiale di un vettore con una matrice è fuorviante. Un vettore non è una rappresentazione di una trasformazione lineare tra spazi vettoriali. Per questo motivo, semplicemente non ha senso chiedere qual è il rango di un vettore.

Answer 2

Un'altra definizione di rango di una matrice è la dimensione dello spazio vettoriale attraversato dalla sua colonna, quindi qualsiasi vettore diverso da zero si estende su uno spazio di dimensione 1.