Qual è la differenza tra incertezza e deviazione standard?

Question

Nella lezione di laboratorio di fisica stiamo imparando l'incertezza e la propagazione dell'errore. La scorsa settimana abbiamo imparato come trovare l'incertezza di un valore calcolato utilizzando l'equazione$$\delta_f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)\delta_x + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)\delta_y$$ Se $f$è una funzione di x e y. Il mio insegnante ci ha mostrato come questa equazione proviene dalla serie su misura.

Questa settimana abbiamo imparato come trovare la versione statistica dell'incertezza utilizzando l'equazione $$\sigma_f = \sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\sigma_x\right)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\sigma_y \right)^2}$$

Il mio insegnante ci dice che questa è la versione statistica dell'incertezza che ci fornisce il 68% dell'incertezza totale. Sto attraversando un periodo difficile con questa definizione. Sembra che se questo fosse vero potremmo semplicemente moltiplicare l'equazione data in precedenza per 0,68.

Da quello che ho imparato nel mio corso di statistica è che quando aggiungi deviazioni standard, devi aggiungere i loro quadrati (varianze). Posso vedere come questa equazione avrebbe senso se stessimo cercando di trovare la deviazione standard di un valore calcolato, ma il mio insegnante ci dice che inseriamo l'incertezza per x in$\sigma_x$ e l'incertezza per te $\sigma_y$.

Sono i due simboli $\delta_x$ e $\sigma_x$che rappresenta la stessa cosa? Sono confuso come sia valida la seconda equazione. La seconda equazione viene utilizzata per trovare la deviazione standard o l'incertezza? I fisici usano semplicemente la parola deviazione standard per riferirsi all'incertezza? Perché non inseriamo le deviazioni standard delle distribuzioni di x e y per$\sigma_x$ e $\sigma_y$, che può essere trovato utilizzando $\sqrt{\frac{1}{n-1}\Sigma_i (x_i - \bar{x})}$. Se$\sigma_f$ è veramente la deviazione standard della distribuzione del calcolato $f$, quindi collegando le incertezze per $\sigma_x$ e $\sigma_y$non ha senso. Questo non significherebbe che potresti manipolare la deviazione standard$\sigma_f$ solo da quali valori scegli per le tue incertezze.

Inoltre, nella mia classe di laboratorio, ci viene insegnato a scegliere le nostre incertezze in base a ciò che pensiamo siano i limiti dei nostri strumenti. Tuttavia, ho visto alcune altre persone usare la deviazione standard delle loro misurazioni e chiamarla incertezza. È questo il metodo più comune? Penso che questo chiarirebbe alcuni dei problemi che sto avendo.

Answer 1

La differenza fondamentale tra queste equazioni è la natura dell'errore: mentre la prima viene utilizzata per l'errore sistematico , la seconda viene utilizzata per gli errori casuali .

La prima equazione è la derivata totale di una funzione$f=f(x,y)$ al punto $(x_0, y_0)$ $$ \tag1 df = df(x_0,y_0) = \frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x} dx +\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y} dy $$Questo è vero per qualsiasi funzione e qualsiasi variabile. Poiché gli errori sistematici sono costanti sconosciute, la loro varianza è zero. Tuttavia, l'eq. (1) ci dice come un "offset sistematico"$dx$ genera un "offset sistematico" $df$: Gli errori sistematici $dx$ è ponderato dalla derivata$\frac{\partial f}{\partial x}$, perché la gravità dell'errore dipende dalla velocità con cui la funzione $f$ cambiamenti intorno al punto $(x_0,y_0)$. Ecco perché usiamo l'eq. (1) per stimare l'errore sistematico.

Al contrario, la tua seconda equazione ci dice come le variabili casuali $x$ e $y$ influenzare la variabile di risposta $f(x,y)$. Squadrando entrambi i lati otteniamo$$ \tag2 Var[f(x_0,y_0)] \approx \left(\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x} \right)^2Var[x] + \left(\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y} \right)^2Var[y] $$ dove uso $\sigma_x^2 = Var[x]$. La varianza di$x$ è diverso da zero, perché se proviamo a impostare l'input a $x_i=x_0$, otteniamo effettivamente $x_i=x_0 + \epsilon_i$, dove $\epsilon_i$è un errore casuale. Spero che queste dichiarazioni lo rendano chiaro$dx \ne \sigma_x$. Sebbene entrambi siano "incertezze", gli errori sistematici e casuali sono fondamentalmente diversi. Sidemark: La confusione riguardo alle parole incertezza e deviazione standard è comprensibile, perché le persone spesso le usano come sinonimi. Tuttavia, storicamente esistono altre "convenzioni". Pertanto, ti consiglio vivamente di non utilizzare la parola "incertezza" a meno che non sia stata definita in precedenza o di usarla solo in modo qualitativo (non quantitativo).

Come stimiamo la varianza $Var[f(x,y)]$in eq. (2)? Consideriamo un semplice esempio, in cui abbiamo solo una singola variabile di input casuale$x$ (nessun secondo input $y$). Quindi, abbiamo diverse opzioni

1. Prepariamo $x_i = x_i^{(target)}$ e rimisurare la risposta $f(x_i)$ senza modificare il valore target $x_i^{(target)} = x_0 = const$. Sappiamo che la variabile di input fluttua in base a$x_i = x_0 + \epsilon_i$. Quindi, misurando più volte la variabile di risposta si ottiene una stima di$Var[f(x_0)] = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (f_i - \bar f)^2$. Anche se non abbiamo modo di determinarlo$Var[x_i]$, abbiamo ottenuto una stima di $Var[f(x_0)]$senza utilizzare la propagazione degli errori. Notare che l'errore sistematico non è incluso in$Var[f(x)]$.
2. Prepariamo $x_i=x_i^{(target)}$ e modificare i valori target $x_i^{(target)}$. I cosiddetti residui$r(x_i)=f(x_i) - f(\bar x)$ sono l'errore casuale $\epsilon_f$. Quindi,$Var[f(x_i)] = Var[r(x_i)]$ fornisce una stima della varianza della variabile di risposta.
3. Possiamo controllare il manuale della nostra attrezzatura di misura e usarne la precisione come stima $Var[f(x_i)]$. Esistono modi fantasiosi per ottenere una stima più accurata, supponendo una distribuzione di probabilità, da cui viene campionato l'errore casuale, tuttavia, questo va oltre la tua domanda.
4. Possiamo indovinare un errore casuale $\sigma_x$e usa la formula di propagazione dell'errore, eq. (2), per verificare come viene influenzato il risultato. Questo è sicuramente il metodo meno obiettivo.

Answer 2

"I fisici usano semplicemente la parola deviazione standard per riferirsi all'incertezza?" Spesso assumiamo che i risultati delle nostre misurazioni siano distribuiti normalmente (possiamo sostenere che, se non conosciamo il motivo della deviazione dal valore "reale", allora è molto probabilmente dovuto a molti fattori e se ne avete molti arbitrariamente fattori distribuiti che influenzano una variabile, quindi quella variabile segue la distribuzione normale - teorema del limite centrale). Quindi possiamo usare una certa misura della larghezza della distribuzione normale come nostra incertezza, ad esempio la deviazione std. Ma ovviamente sei fondamentalmente libero nella scelta di ciò che usi, un sigma potrebbe essere ok ora, ma spesso vengono utilizzati multipli di sigma. Potresti anche sapere che qualunque cosa stai misurando in realtà non è distribuita normalmente, quindi dovresti scegliere qualche altra misura di incertezza. Quindi, quando si tratta di incertezze, non esiste una soluzione valida per tutti. Tuttavia, la propagazione dell'errore gaussiano basata sulle deviazioni standard è il punto di partenza se non ci sono ragioni contro di essa e in tal caso l'incertezza e alcuni multipli di sigma sarebbero la stessa cosa.

Ora alla domanda su quali valori inserire per i sigma. Lasciatemelo menzionare$\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_i\left(x_i - \bar{x}\right)^2}$non è la deviazione standard ma uno stimatore per la deviazione standard "reale" della distribuzione, che a sua volta ha un'incertezza (se fosse il valore reale della deviazione standard, quella formula dovrebbe dare lo stesso risultato per ogni campione). Quindi "perché non inseriamo le deviazioni standard delle distribuzioni"? Perché potresti avere un'ipotesi migliore per la deviazione standard rispetto allo stimatore sopra.

"Questo non significherebbe che potresti manipolare la deviazione standard σ solo in base ai valori che scegli per le tue incertezze." Si, puoi. Di solito dovresti descrivere in dettaglio perché hai scelto un certo grado di incertezza e altri potrebbero essere critici della tua scelta e contestare i tuoi risultati per questo motivo.