Recupero del Subobject Poset dal Subobject Classifier

Question

Nella teoria dei topos, un modo di formulare il ruolo del classificatore di suboggetti $\Omega$ è come l'oggetto che rappresenta il funtore sottooggetto.

Il nlab (e tutte le fonti che ho trovato tramite googling) si riferiscono a $\text{Sub}(-)$ come funtore da $\mathcal{E}$ per $\mathsf{Set}$. Tuttavia lo sappiamo$\text{Sub}(X)$è sempre un poset (infatti in un topos è sempre un'algebra accattivante). Da$\Omega$di per sé è anche un'algebra accattivante, sembra che dovremmo essere in grado di recuperare la struttura poset di$\text{Sub}(X)$ osservando solo le funzioni caratteristiche corrispondenti $\chi_A : X \to \Omega$.

Nel $\mathsf{Set}$ è intuitivamente chiaro come farlo: la struttura del poset sui suboggetti viene recuperata esattamente dall'ordinamento puntuale sulle funzioni caratteristiche $\chi_A \leq \chi_B$. Sembra che dovrebbe funzionare in un topos arbitrario, ma sto lottando per trovare un fraseggio categorico naturale.

Grazie in anticipo ^ _ ^

Answer 1

Possiamo definire un ordine parziale $\le$ su $\operatorname{Hom}(U, \Omega)$ dicendo $f \le g$ se e solo se $(f \rightarrow g) = \operatorname{true} \circ ()$ dove $\operatorname{true} : 1 \to \Omega$ deriva dalla definizione di classificatore di suboggetti e $() : U \to 1$ è il morfismo unico dalla proprietà universale di $1$come oggetto finale; e${\rightarrow} : \Omega \times \Omega \to \Omega$ è l'operatore "complemento relativo" dalla struttura di $\Omega$ come un oggetto algebrico di Heyting del topos.

Quindi, per i suboggetti $A, B \in \operatorname{Sub}(U)$, ce l'abbiamo $A \subseteq B$ se e solo se $\chi_A \le \chi_B$.

Answer 2

Questo è un po 'indiretto ma funziona. Per il lemma di Yoneda ogni operazione naturale su suboggetti corrisponde a un'operazione su$\Omega$. In particolare l'intersezione e l'unione (prodotto e coprodotto) di sottooggetti corrispondono a due operazioni$\cap, \cup : \Omega \times \Omega \to \Omega$ fabbricazione $\Omega$un reticolo interno. Entrambe queste operazioni possono essere utilizzate per definire l'ordinamento: abbiamo$a \le b$ iff $a \cup b = b$ iff $a \cap b = a$.