Riferimenti sui coefficienti binomiali della forma $\binom{-1/m}{k} $
Mi interessano i coefficienti binomiali della forma $$\binom{-1/m}{k} .$$Anche se ho trovato alcune fonti che indicano che questa espressione può essere riscritta in modo interessante quando$m=2$, Ho trovato finora poche informazioni su di esso quando $m \in \mathbb{Z}_{\geq 3}$.
Sono quindi curioso di sapere se sono stati scritti articoli o capitoli di libri su questa particolare espressione binomiale. Anche le informazioni sulle somme che implicano questa espressione sono molto apprezzate.
Risposte
Considera la serie di potenze formali $y(x)$ soddisfacente $y^m = \frac{1}{1 - mx}$, che dà
$$y(x) = (1 - mx)^{- \frac 1 m} = \sum_{n \ge 0} (-1)^n m^n {-\frac 1 m \choose n} x^n.$$
Prendere i registri e aumentare di nuovo l'esponenziamento dà
$$y(x) = \exp \left( \frac{1}{m} \log \frac{1}{1 - mx} \right) = \exp \left( \sum_{k \ge 1} \frac{m^{n-1} x^n}{n} \right).$$
Questo ci dà quello $n! [x^n] y(x)$ conta le permutazioni ma dove una permutazione con cicli di lunghezza $\ell_1, \dots \ell_n$ è ponderato da $m^{\sum (\ell_i - 1)}$. La quantità$\sum (\ell_i - 1)$a volte è chiamata la lunghezza di una permutazione; dà il minimo$\ell$ tale che una permutazione possa essere espressa come un prodotto di $\ell$trasposizioni. È uguale a$n$meno il numero di cicli, il che significa che otteniamo i numeri di Stirling del primo tipo ma in ordine inverso:
$$\boxed{ (-1)^n m^n {-\frac 1 m \choose n} = \frac{1}{n!} \sum_{i=0}^n \left[ {n \atop i} \right] m^{n-i} }.$$
Confronta con la funzione di generazione dei numeri di Stirling nel solito ordine, che è
$$(-1)^n {-m \choose n} = {n+m-1 \choose n} = \frac{1}{n!} \sum_{i=0}^n \left[ {n \atop i} \right] m^i$$
e che corrisponde a guardare $(1 - x)^{-m}$.
Quello che avresti potuto sperare era un'espressione in termini di ${mn \choose n}$ generalizzare il caso $m = 2$, e si scopre che si possono dire alcune cose carine su questa sequenza. Usando l' inversione di Lagrange o l'argomento combinatorio più esplicito in questo post del blog possiamo mostrare che la serie di potenze formali$z(x)$ soddisfacente $z = 1 + xz^m$ ha coefficienti
$$z(x) = \sum_{n \ge 0} \frac{1}{(m-1)n + 1} {mn \choose n} x^n$$
che generalizza la ben nota funzione generatrice dei numeri catalani, a cui si riduce quando $m = 2$ (e infatti questi coefficienti contano $m$-ary alberi in un modo che generalizza il modo in cui i numeri catalani contano gli alberi binari). Questo è l'Esempio 6.2.6 in Enumerative Combinatorics di Stanley , Vol. II . L'Esempio 6.2.7 usa questo per mostrare che la serie di potenze formali$w(x) = \sum_{n \ge 0} {mn \choose n} x^n$ soddisfa
$$\frac{w - 1}{1 + (m-1)w} = x \left( \frac{mw}{1 + (m-1)w} \right)^m$$
così piace $y$ e $z$è anche algebrico, ma il suo polinomio minimo sembra essere più complicato. Ad esempio, setting$m = 3$ e la compensazione dei denominatori lo dà $w = \sum_{n \ge 0} {3n \choose n} x^n$ soddisfa
$$(w - 1)(1 + 2w)^2 = 27x w^3$$
e l'espansione e la riorganizzazione dà
$$(27x - 4) w^3 + 3w + 1 = 0.$$
Quindi più complicato di $(1 - 3x) y^3 = 1$, Sfortunatamente. Stanley è probabilmente la soluzione migliore per saperne di più su questo genere di cose; è estremamente completo, soprattutto gli esercizi. La serie$w$ compare di nuovo nell'esercizio 6.13.