Scambio di serie e integrali

Question

So che posso usare Lebesgue o il teorema di convergenza monotona per scambiare il limite di somme parziali e un integrale di Lebesgue, data una serie di potenze o una serie di funzioni generiche. Ma in generale data una serie$\sum_{n=0}^{\infty}a_n$ che converge e definito $\int_0^\infty\sum_{n=0}^{\infty}a_n f_n(u)du$ con $f_n(u)$integrabile, mi chiedevo quando avrei potuto scambiare l'integrazione e la serie. In particolare nel contesto della sintesi Borel, data$\int_0^\infty e^{-u} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_nu^n}{n!}du$, Mi chiedevo come avrei potuto dimostrarlo se $\sum_{n=0}^{\infty}a_n$converge, quindi posso scambiare l'integrale e la serie. (Lo so per le serie di potenze$\sum_{n=0}^{\infty}a_n z^n$ il lavoro si può fare utilizzando il raggio di convergenza e riesco sempre a trovare una dominante)

Answer 1

Come suggerito da Gerald Edgar, possiamo usare il teorema di Fubini-Tonelli. Secondo il teorema di Tonelli,$$\int_0^\infty \sum_{n=0}^{\infty}\Big|e^{-u} \frac{a_nu^n}{n!}\Big|\,du =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{|a_n|}{n!}\int_0^\infty e^{-u} u^n\,du =\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|<\infty.$$ Quindi, il teorema di Fubini è applicabile, cioè si può scambiare l'integrale e la serie.