Scrivi la linea in forma parametrica

Question

Diciamo che ho la linea $3x+4y=2$

Voglio scriverlo in forma parametrica. Risolvi x o y.

Risolvendo per x: $x=\frac{2}{3}+\frac{-4t}{3}$

Risolvendo per y: $y=\frac{2}{4}+\frac{-3x}{4}$

In forma parametrica diventano:

$\begin{bmatrix}2/3 \\ 0\end{bmatrix}+-t\begin{bmatrix} 4/3\\ 1\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}0 \\ 2/4\end{bmatrix}+-t\begin{bmatrix} 1\\ 3/4\end{bmatrix}$

Se li tracciamo, la soluzione per la linea y è quella che è uguale a 3x + 4y = 2. Vedo esempi in linea di persone che risolvono entrambi x / y in modo intercambiabile. Sto fraintendendo qualcosa? E se volessi scrivere una riga sulla sua forma di parametro, la variabile che risolvo è importante?

Answer 1

In particolare, quando hai un'equazione implicita, puoi risolvere entrambe le cose $x$ o $y$ per derivare una versione parametrica (l'unica eccezione è quando sia $x$ o $y$ non compare nell'equazione implicita, ad esempio nelle righe $x-2=0$ e $3y+5=0$). Tuttavia le rappresentazioni parametriche non sono univoche, quindi una singola linea può essere rappresentata da un numero qualsiasi di equazioni parametriche.

In generale se una singola linea ha due rappresentazioni parametriche $\mathbb a_i + t \mathbb b_i$ per $i=1,2$ allora dobbiamo avere $\mathbb b_1$ è un multiplo diverso da zero di $\mathbb b_2$ ed entrambi $\mathbb a_1$ e $\mathbb a_2$ deve trovarsi da qualche parte sulla linea, vale a dire $\mathbb a_1 + t\mathbb b_1 = \mathbb a_2$ per un valore di $t$.

Nel tuo esempio potresti scegliere il parametro $t$ essere uguale a $x$ o $y$ o addirittura qualche altra quantità come $t=x+y$ dando

$$ \left( \array{x\\y} \right)= \left( \array{-2\\2} \right)+ t \left( \array{4\\-3} \right) $$Quindi, includendo le due che hai derivato, abbiamo tre rappresentazioni in forma parametrica. Per inciso, hai un segno sbagliato nelle tue due formule, che dovrebbero leggere$$ \left( \array{x\\y} \right)= \left( \array{2/3\\0} \right)+ t \left( \array{-4/3\\1} \right) \quad\text{and}\quad \left( \array{x\\y} \right)= \left( \array{0\\2/4} \right)+ t \left( \array{1\\-3/4} \right) . $$