Se $\lambda = \sum k_i \alpha_i$ e $P_\lambda \subseteq \cup_{\alpha \in \Phi} P_\alpha \implies \lambda = c\alpha$ per alcuni $\alpha \in \Phi$.
Questo è un esercizio 10.10 nel libro di Humphreys sulle algebre di Lie.
Permettere $\Phi$ essere un apparato radicale che giace nello spazio euclideo $E$ e lascia $\Delta = \{\alpha_1,\cdots,\alpha_\ell\}$ essere una base per $\Phi$. Permettere$\lambda = \sum_i k_i \alpha_i$ con tutto $k_i\geq 0$ o tutti $k_i\leq 0, k_i \in \mathbb Z.$ Dimostralo $\lambda$ è un multiplo (possibilmente 0) di una radice, oppure esiste $\sigma \in \mathscr W$ (Gruppo Weyl) tale che $\sigma \lambda = \sum_i k_i'\alpha_i$ con qualche $k_i'>0$ e alcuni $k_i'<0$.
Dà il seguente suggerimento: If $\lambda$ non è un multiplo di nessuna radice, quindi l'iperpiano $P_\lambda$ ortogonale a $\lambda$ non è incluso in $\bigcup_{\alpha \in \Phi} P_\alpha$. Prendere$\mu \in P_\lambda \setminus \bigcup P_\alpha$ e poi trova $\sigma \in \mathscr W$ per cui tutti $(\alpha_i,\sigma\mu)>0$.
Non ho potuto dimostrare che$P_\lambda \not \subseteq \bigcup P_\alpha$, anche se sono riuscito a finire l'esercizio come segue. Prendendo uno di questi$\mu$, poiché ogni punto in $E$ è $\mathscr W$-conugato fino a un punto nella camera di Weyl fondamentale, esiste $\sigma \in \mathscr W$ soddisfacente $(\sigma\mu, \alpha_i)>0$come affermato. In particolare, ciascuno$\sigma \alpha_i \in \Phi$, quindi possiamo scrivere $\sigma\lambda = \sum k_i' \alpha_i$ per alcuni (possibilmente nuovi) interi $k_i'$. Adesso,$\mu \in P_\lambda$, così
$$ 0 = (\mu,\lambda ) = (\sigma\mu, \sigma \lambda) = \sum k_i'(\sigma\mu,\alpha_i)$$ implica che alcuni $k_i'>0$ e alcuni $k_i'<0$, come i termini $(\sigma\mu ,\alpha_i)$ sono tutti positivi.
La domanda quindi è: come dimostrarlo$P_\lambda \not\subseteq \bigcup P_\alpha$? Tutti i calcoli che ho fatto finora erano inutili, cose del tipo$0 = (\lambda,x) = \sum k_i (\alpha_i,x)$non può implicare nulla. Ho anche cercato di iniziare semplice con $P_\lambda \subset P_\alpha \implies \lambda = c\alpha$ di supposig $\lambda - c\alpha\neq 0$ e $P_\lambda \subseteq P_\alpha$, ma questo ha solo ceduto $P_\lambda \subseteq P_{\lambda - c\alpha}$.
Qualsiasi aiuto? Grazie.
Risposte
Lemma : se$H, H_1, ... H_r$ sono iperpiani (es $(n-1)$-sottospazi dimensionali) in alcuni $n$-spazio dimensionale su un campo infinito, e $H \subseteq \bigcup_{i=1}^n H_i$, poi $H = H_j$ per alcuni $1 \le j \le r$.
Prova : per ipotesi abbiamo
$$H = H \cap \left( \bigcup_{i=1}^r H_i \right) = \bigcup_{i=1}^r (H \cap H_i).$$
Ora l'intersezione di due iperpiani qualsiasi ha dimensione $n-2$a meno che i due iperpiani non siano uguali. Ma se tutti gli spazi nel sindacato sulla RHS lo sono$(n-2)$- dimensionale, la loro unione non può essere l '$(n-1)$-spazio dimensionale sul LHS. QED.
Per applicare questo al tuo problema: If $P_\lambda \subseteq \bigcup P_\alpha$, quindi dal lemma c'è una radice $\alpha$ tale che $P_\lambda = P_\alpha$, di conseguenza $\langle \lambda \rangle = P_\lambda^\perp = P_\alpha^\perp = \langle \alpha\rangle$, ie $\lambda$ è un multiplo scalare di $\alpha$.