Soluzione del problema USAMO
Avevo chiesto un suggerimento qui https://math.stackexchange.com/questions/3918416/usamo-problem-hint?noredirect=1#comment8081183_3918416Avevo provato l'induzione una volta ma pensavo che non funzionasse, quindi l'ho lasciata, ma dopo aver visto il commento di @lulu, ho deciso di riprovare. Si prega di vedere se la mia soluzione è corretta.
[USAMO 2003] Dimostrare che per ogni intero positivo n esiste un numero di n cifre divisibile per $5^n$ tutte le cui cifre sono dispari.
LA MIA SOLUZIONE: Quindi, per prima cosa, ho controllato alcuni piccoli casi e ho pensato che potevamo generare il numero con (n + 1) cifre che soddisfacevano la proprietà aggiungendo un numero davanti, ad es. aggiungendo b 10$^n$ al numero con n cifre.
Procederemo con l'induzione, lasciamo P (n) significa che esiste un numero di n cifre divisibile per $5^n$ tutte le cui cifre sono dispari.
P (1) è vero come 5 | 5.
Sia P (k) vero, cioè. lasciare 5$^k$ | $a_ka_{k-1}...a_1$ con $a_i$ $\neq$ 2l per i $\in$ {1,2 ... k}.
Cercherò di dimostrarlo aggiungendo $ b \cdot 10^k $ con $ b \in {1,3,5,7,9} $. possiamo avere un numero divisibile per$5^{k+1}$.
Quindi ne vogliamo 5$^{k+1}$ $|$ $ b \cdot 10^k $ + $a_ka_{k-1}...a_1$. -> eq.1
Permettere $a_ka_{k-1}...a_1$ = $5^km $
Quindi dall'eq. 1, inserendo$a_ka_{k-1}...a_1$ = $5^km $ , otterremo
5$^{k+1}$ $|$ $ b \cdot 10^k $ + $5^k$m, quindi dividendo per $5^k$ , abbiamo bisogno
5 $|$ $2^k \cdot b + m$
come $ b \in {1,3,5,7,9} $ , $\equiv$ 0,1,2,3,4 (mod 5)
Quindi ora m $\equiv$ 0,1,2,3,4 (mod 5), sia m $\equiv$ r (mod 5),
Abbiamo bisogno $2^k \cdot b + r =0 (mod 5)$
adesso,$2^k \equiv$ 1,2,3,4 (mod 5)
così scrupolosamente esaminando ogni singolo caso di possibili valori di $2^k$ e m (mod 5) (ci sono 16 casi), dimostriamo che possiamo trovare a $ b \in {1,3,5,7,9} $ tale che 5 $|$ $2^k \cdot b + m$ .
Questa è la prima volta che scrivo così tanto in latex, quindi mi dispiace se c'è qualche errore.
Se fossi un selezionatore, su 7, quanti punti mi daresti?
Risposte
Non credo che le risposte di math.se possano affrontare il modo in cui le contrassegnerebbero, ma posso consigliare un modo più pulito per scrivere le risposte, perché le tue idee sono giuste ma potrebbero farlo con chiarezza algebrica e chiarezza riguardo al modulo aritmetico. (Se ti ritrovi a sostenere che se facciamo qualcosa alla fine otteniamo un risultato particolare, prova a dichiararlo come un teorema di esistenza che sia ovvio, ben noto o provato nel tuo lavoro.)
Rivendichiamo una sequenza $a_n$ di $n$-digit numeri in base $10$, tutte le cifre dispari, soddisfa $5^n|a_n,\,10^n|a_{n+1}-a_n$. In particolare scrivi$a_n=5^nb_n,\,a_{n+1}=a_n+10^nc_n$, così $b_1=1$ (perché $a_1=5$) e$$5^{n+1}b_{n+1}=a_{n+1}=c_n10^n+5^nb_n\iff5b_{n+1}=c_n2^n+b_n,$$quindi basta scegliere $c_n\in\{1,\,3,\,5,\,7,\,9\}$ con $5|c_n2^n+b_n$. Questa scelta è possibile perché questi$5$ scelte di $c_n$ ognuno raggiunge una diversa classe di residui modulo $5$ (perché $5\nmid k2^n$ per $k\in\{2,\,4,\,6,\,8\}$), e si ottiene esattamente uno $5|c_n2^n+b_n$.
C'è un $\,x\in\Bbb Z\,$ con $\,5\mid 2^k x - m\!\iff\! \bmod 5\!:\ 2^k x \equiv m\,$ ha una radice $\,x.\,$ Di https://math.stackexchange.com/a/3290965/242
$$\begin{align} \color{#c00}c\ x &\equiv \, d\!\!\pmod{\!\color{#0a0}n}\ \ \text{has a root}\ x\!\iff\! \gcd(\color{#c00}c,\,\color{#0a0}n)\mid d\\[.3em] {\rm thus}\ \ \color{#c00}{2^k} x&\equiv m\!\!\!\pmod{\!\color{#0a0}5}\ \ \text{has a root}\ x,\ \, {\rm by}\ \ \gcd(\color{#c00}{2^k},\color{#0a0}5)\!=\!1\end{align}\qquad$$
e possiamo scegliere una radice $\,x\in \{1, 3, 5, 7, 9\}\,$ poiché è un file https://en.wikipedia.org/wiki/Modular_arithmetic#Residue_systems $\!\bmod 5;\,$ in alternativa: $ $ Se $\,0\le x < 5\,$ è anche allora $\,x':= x\!+\!5\,$ è strano $< 10,\,$ e $\,x'$ rimane una radice di $\,x'\equiv x\pmod{\!5}$.