Somma dei coefficienti binomiali [chiuso]

Question

Qualche idea sull'opportunità o meno $$\sum_{i = 0}^b(-1)^i\binom{b}{i}\binom{a+b-i-1}{a-i}$$ ha una formula chiusa $a$ e $b$ (e su cosa è, nel caso lo faccia)?

Si suppone che $b \le a$.

Answer 1

Ecco una prova combinatoria che l'espressione è $0$. Entrambi i lati dell'identità contano il numero di$(b-1)$-sottoinsiemi di $\{1,\dots,a+b-1\}$ che includono $\{1,\dots,b\}$. Perché$b > b-1$, questo conteggio è ovviamente $0$, che istituisce la RHS. Per il LHS, applicare inclusione-esclusione, dove il$b$ le proprietà da evitare sono quelle $j$ non appare per $j \in \{1,\dots,b\}$. Più in generale, questo argomento lo mostra$$\sum_{i=0}^b (-1)^i \binom{b}{i} \binom{a+b-1-i}{k} = 0$$ per $k < b$e non richiede $b \le a$.

Answer 2

Questo è sempre zero. Considerando combinatoriamente$a + b - 1$palle. Scegliere$a$ palline e colorale in bianco e nero in modo che solo palline $1, \ldots, b$può essere nero. La somma in OP è la differenza tra le colorazioni con numeri pari e dispari di palline nere ($i$essendo il numero di palline nere). Tuttavia, coloranti validi di qualsiasi set$S$ di dimensioni $a$cancellare. Infatti,$B = S \cap \{1, \ldots, b\}$ non è vuoto, quindi la somma è $\sum_{A \subseteq B} (-1)^{|A|} = 0$.

Answer 3

$(1+x)^b=\sum_{k=0}^{b} \binom{b}{k}x^k$

Adesso, $\binom{a+b-1-i}{a-i}=\binom{a+b-1-i}{b-1}$...$(1)$

E, $(1+x)^{-b}=1-\binom{b}{b-1}x+\binom{b+1}{b-1}x^2-..\color{cadetblue}{(-1)^{a-b}\binom{a-1}{b-1}x^{a-b}+(-1)^{a-b+1}\binom{a}{b-1}x^{a-b+1}......+(-1)^{a}\binom{a+b-1}{b-1}x^{a+1}}+.... \tag{2}$

Moltiplicando (1) e (2) vediamo facilmente che il coefficiente di $x^a$ in destra $$(-1)^a\sum_{I=0}^{b}(-1)^i\binom{b}{i}\binom{a+b-i-1}{a-i}$$.

Ma il lato sinistro di $(1)×(2)$ è 1. Quindi, il coefficiente di $x^a, a\geq 1$ è $0$.

Quindi, $$\sum_{I=0}^{b}(-1)^i\binom{b}{i}\binom{a+b-i-1}{a-i}=0$$