Somma del prodotto dei coefficienti binomiali

Question

Vorrei calcolare la seguente somma: $$ \sum_{k=0, \, k =odd}^{\min\{2n, m\}} {2n \choose 2n-k}{2m-2n \choose m-k} $$ Finora posso provarlo $$ \sum_{k=0, \, k =odd}^m {2n \choose 2n-k}{2m-2n \choose m-k}=\frac 12 {2m \choose m}+(-1)^{m+1}2^{2m-1}{n-\frac 12 \choose m}. $$ che può essere dimostrato dividendo la somma come $$ \sum_{k=0, \, k =odd}^m {2n \choose 2n-k}{2m-2n \choose m-k}= \frac 12 \sum_{k=0}^m {2n \choose 2n-k}{2m-2n \choose m-k}-\frac 12 \sum_{k=0, }^m (-1)^k{2n \choose 2n-k}{2m-2n \choose m-k} $$ e calcolare la prima somma usando l'identità di Chu-Vandermond e la seconda - usando la nozione di estrattore di coefficienti.

Non sono sicuro di come procedere quando il limite superiore della sommatoria è $\min\{2n,m\}$.

Answer 1

Me lo dice Mathematica

$$\sum_{k=0, \, k =\text{odd}}^{2n} {2n \choose 2n-k}{2m-2n \choose m-k}=2 n \binom{2 m-2 n}{m-1}+\binom{2 m-2 n}{m}$$ $$\qquad+ \, _4F_3\left(\frac{1}{2}-\frac{m}{2},1-\frac{m}{2},\frac{1}{2}-n,1-n;\frac{3}{2},\frac{m}{2}-n+1,\frac{m}{2}-n+\frac{3}{2};1\right).\qquad(1)$$

Inoltre, $$\sum_{k=0, \, k =\text{odd}}^{m} {2n \choose 2n-k}{2m-2n \choose m-k}=\binom{2 m-2 n}{m}$$ $$\qquad+\frac{2^{2 m-1}}{m!} \left(\frac{\Gamma \left(m+\frac{1}{2}\right)}{\sqrt{\pi }}-\frac{\Gamma \left(m-n+\frac{1}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{1}{2}-n\right)}\right), \qquad(2)$$ che differisce dalla risposta $\frac 12 {2m \choose m}+(-1)^{m+1}2^{2m-1}{n-\frac 12 \choose m}$dato nell'OP.
_{Ad esempio, per$n=1,m=2$, sia il lato sinistro che il lato destro dell'equazione (2) valutano a 5, mentre la risposta nell'OP valuta a 4.}