Somma dello spazio vettoriale

Question

La domanda su cui sto lavorando è la seguente:

Supponiamo $U_1$ e $U_2$ essere sottospazi di uno spazio vettoriale $V$. Dimostralo$U_1+U_2$ è uguale all'intersezione di tutti i sottospazi di $V$ che includono $U_1 \cup U_2$.

Il mio tentativo:

Permettere $K = \bigcap_{i = 0}V_i$ essere l'intersezione di tutti i sottospazi tale che $U_1$ $\cup$ $U_2$ $\subseteq V_i$ per tutti $i$. Permettere$U = U_1+U_2 = \{x + y \in V : x \in U_1, y \in U_2\}$. Dobbiamo dimostrarlo$U \subseteq K$ e $K \subseteq U$.

Poiché l'intersezione di qualsiasi sottospazio risulta in un altro sottospazio, sappiamo che K è un sottospazio. Poiché i sottospazi sono chiusi per addizione, abbiamo quello per$x,y$ in $K$, $x+y\in K$. Locazione$x$ e $y$ essere elementi da $U_1 \cup U_2$, è chiaro che $U \subseteq K$.

La durata di un set $S$ è l'intersezione di tutti i sottospazi di uno spazio vettoriale $V$ che contengono $S$. Quindi$K = \operatorname{span}(U_1 \cup U_2)$. Quindi elementi da$K$ possono essere scritti come combinazioni lineari da $U_1 \cup U_2$. Da$U$ possono anche essere rappresentati come combinazioni lineari da $U_1 \cup U_2$ ne consegue che $K \subseteq U$.

Sembrava un po 'troppo facile, quindi penso di essermi perso qualcosa di importante. Qualsiasi aiuto qui sarebbe fantastico.

Answer 1

È davvero così semplice! Supponi di avere un sottospazio$W$ di $V$ tale che $U_1\cup U_2\subseteq W$. Quindi abbiamo, per qualsiasi$u_1\in U_1, u_2\in U_2$, $u_1+u_2\in W$ perché $W$è un sottospazio. Quindi,$U_1+U_2\subseteq W$. Come$W$ era arbitrario, sappiamo che questa inclusione vale per tutti questi sottospazi, e quindi vale per la loro inclusione che ci dà $U_1+U_2\subseteq \bigcap_{U_1\cup U_2\subseteq W}W$. D'altra parte,$U_1+U_2$ è esso stesso un sottospazio di $V$ contenente $U_1\cup U_2$ che dà l'inclusione inversa.