Sovrapposizione di circuiti quantistici

Question

Dato un circuito quantistico $C_1$ che genera uno stato $\vert\psi\rangle$ e un altro circuito $C_2$ che genera $\vert\phi\rangle$, c'è un modo per costruire un circuito che genera

$$\frac{1}{\sqrt{2}}(\vert \psi\rangle +\vert\phi\rangle)$$

utilizzando $C_1$ e $C_2$ come scatole nere?

Answer 1

Ecco un modo per farlo. Partiamo da alcune ipotesi: qui, sto assumendo i tuoi circuiti$C_1$ e $C_2$utilizzare lo stesso numero di qubit. Nel disegno, ho usato quattro qubit per illustrare il concetto, ma non importa. La risposta di seguito non si preoccupa del numero di qubit (che chiamo$n$), solo che i due circuiti hanno lo stesso numero di qubit.

Presumo anche che dal momento che abbiamo questi due circuiti $C_1$ e $C_2$, possiamo creare versioni controllate di loro. Non è difficile da fare. [modifica dopo il commento di @ DaftWullie: la domanda sopra inizia, "Dato un circuito quantistico ..." quindi presumo qui che io sappia cosa sono i circuiti. Nel caso generale di circuiti completamente sconosciuti, questo potrebbe non essere così facile. ]

Oltre al numero di qubit necessari per i tuoi circuiti, ho bisogno anche di un altro qubit per fare questo lavoro. Si chiama ctrl$_0$ nella figura.

Inizia con tutti i qubit ripristinati allo stato $\vert0\rangle$. Quindi, applica un gate Hadamard a ctrl$_0$e hai lo stato combinato

$$ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vert0\rangle + \vert1\rangle\right)\otimes \vert0\rangle_n $$ dove l'ordine è evidente dall'alto.

Quindi, applica il controllo-$U_1$ box, che in realtà contiene solo il circuito $C_1$che mi hai dato. Lo stato combinato è adesso

$$ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vert0\rangle\vert0\rangle_n + \vert1\rangle\right\vert\psi_1\rangle_n) $$

Dopo aver applicato il $X$ cancello, abbiamo

$$ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vert1\rangle\vert0\rangle_n + \vert0\rangle\right\vert\psi_1\rangle_n) $$

E così, dopo aver applicato il controllo-$U_2$ box, che in realtà contiene solo il circuito $C_2$ che mi hai dato

$$ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vert1\rangle\vert\psi_2\rangle_n + \vert0\rangle\right\vert\psi_1\rangle_n) $$

Dopo aver applicato nuovamente il gate Hadamard su ctrl$_0$, questo diventa

$$ \left[\frac{1}{\sqrt{2}}\vert0\rangle\otimes\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vert\psi_1\rangle_n + \vert\psi_2\rangle_n\right)\right] + \left[\frac{1}{\sqrt{2}}\vert1\rangle\otimes\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vert\psi_1\rangle_n - \vert\psi_2\rangle_n\right)\right] $$

Ora, se hai misurato il qubit ctrl$_0$, otterrai 0 o 1. Se hai misurato 0, allora sai che il $n$ i qubit sono ora nello stato

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vert\psi_1\rangle_n + \vert\psi_2\rangle_n\right)$$

Se hai misurato 1, allora sai che il $n$ i qubit sono ora nello stato

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vert\psi_1\rangle_n - \vert\psi_2\rangle_n\right)$$

Ciascuno di questi due risultati ha una probabilità di 1/2. Ciò significa che se vuoi davvero solo lo stato

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vert\psi_1\rangle_n + \vert\psi_2\rangle_n\right)$$

allora questo circuito te lo darà metà del tempo. Nell'altra metà del tempo, sai (perché hai misurato 1) che devi riavviare il circuito nella speranza di ottenere il risultato che desideri. Poiché la probabilità è 1/2, prima o poi dovrebbe accadere.

Questo metodo è probabilistico, ovviamente, ma ha il bel vantaggio di darti un risultato di misurazione (0 o 1) che ti dice se hai fatto quello che volevi o no.

Answer 2

Come sottolinea la risposta di Davit Khachatryan, il compito è impossibile / mal definito, poiché lo stato target desiderato non è generalmente normalizzato e dipende dalle fasi globali relative dei due stati iniziali. Tuttavia, è possibile riformulare la domanda in modo che sia significativa e abbia una risposta interessante.

I due problemi - sensibilità alla fase globale e normalizzazione - possono essere affrontati simultaneamente riformulando il problema in termini di matrici di densità invece che di stati puri. In effetti, la matrice di densità$|\psi\rangle\langle\psi|$ non è sensibile alla fase globale arbitraria di $|\psi\rangle$.

Per dare un senso all'aggiunta, notare che lo stato di destinazione desiderato $\alpha |\psi\rangle + \beta |\phi\rangle$, per qualsiasi scelta di $\alpha, \beta \in \mathbb C$, si trova nel sottospazio bidimensionale attraversato da $|\psi\rangle$ e $|\phi\rangle$. Quindi, senza perdere la generalità, possiamo limitare il problema a questo sottospazio e pensare$|\psi\rangle$ e $|\phi\rangle$ come stati qubit indipendentemente dalla loro dimensione originale.

Ora, considera un problema più generale in cui vuoi in qualche modo interpolare continuamente tra $|\psi\rangle$ e $|\phi\rangle$. Cioè, vuoi che lo stato target desiderato si trovi su un percorso (sulla sfera di Bloch ) che collega i due stati originali. Dì, potresti scegliere qualcosa di simile$\sin(t) |\psi\rangle + \cos(t) |\phi\rangle$, opportunamente normalizzato. Anche se questa sembra una scelta ragionevole, il percorso può variare notevolmente a seconda della fase globale di$|\psi\rangle$ e $|\phi\rangle$ in quanto ammontano a fasi relative nella somma.

Data tale abbondanza di possibili percorsi, quale sarebbe la scelta più naturale di un percorso tra $|\psi\rangle$ e $|\phi\rangle$? Da una prospettiva geometrica, il percorso più breve (o geodetico) lungo un grande cerchio è un'ottima scelta.

Se $\vec{r}, \vec{s} \in \mathbb R^3$ sono i vettori di Bloch dei due stati, il segmento di linea in $\mathbb R^3$ tra di loro è descritto da $p \vec{r} + (1-p) \vec{s}$ dove $p \in [0,1]$. La normalizzazione di questo vettore di Bloch in un vettore unitario fornisce un percorso geodetico sulla superficie della sfera di Bloch.

Per descriverlo in termini di matrici di densità, ricordiamo che la matrice di densità associata al vettore di Bloch $\vec{r} = (x,y,z)$ è dato da $$ \rho(\vec{r}) = \frac{1}{2} (I + x X +y Y + z Z) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+z & x-iy \\ x+iy & 1-z \end{pmatrix}. $$ Puoi verificarlo $$ \operatorname{Tr}\rho(\vec{r})^2 = \frac{1}{2} (1 + \vec{r} \cdot \vec{r}) = \frac{1}{2} (1 + x^2 + y^2 + z^2), $$ intendendo che $$ \|\vec{r}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{2\operatorname{Tr}\bigr(\rho(\vec{r})^2\bigl)-1}. $$ Per qualsiasi vettore diverso da zero $\vec{r} \in \mathbb R^3$, la matrice di densità di uno stato puro normalizzato in direzione $\vec{r}$ può essere ottenuto come segue: $$ \rho\biggl(\frac{\vec{r}}{\|\vec{r}\|}\biggr) = \frac{1}{2} \Biggl( I + \frac{2\rho(\vec{r})-I} {\sqrt{2\operatorname{Tr}\bigr(\rho(\vec{r})^2\bigl)-1}} \Biggr). $$ Quindi, date due matrici di densità arbitrarie $\rho$ e $\sigma$degli stati di qubit puri , la geodetica tra loro è data da$$ \frac{1}{2} \Biggl( I + \frac{2(p\rho+(1-p)\sigma)-I} {\sqrt{2\operatorname{Tr}\bigl((p\rho+(1-p)\sigma)^2\bigr)-1}} \Biggr). $$ dove $p \in [0,1]$. Questo ti dà un modo univoco (anche se piuttosto lungo) per interpolare tra due stati di qubit puri.

Puoi anche esprimerlo in termini di stati puri. La chiave qui è notare che l'espressione$$ a |\psi\rangle + b \frac{\langle\phi|\psi\rangle}{|\langle\phi|\psi\rangle|} |\phi\rangle $$ descrive lo stesso stato indipendentemente dalle fasi globali di $|\psi\rangle$ e $|\phi\rangle$. Scegliendo opportunamente$a$ e $b$ e normalizzando lo stato risultante, puoi anche interpolare senza ambiguità tra di loro.

Per quanto riguarda la tua domanda originale, il problema che ti interessa è noto come aggiunta di stato coerente . Puoi cercare il Teorema 14 nel mio articolo per vedere come può essere raggiunto, dato un numero sufficiente di copie di entrambi gli stati.

L'idea principale è quella di far evolvere uno degli stati secondo l'Hamiltoniana data dal commutatore $i[|\phi\rangle\langle\phi|,|\psi\rangle\langle\psi|]$dei due stati. Ciò può essere ottenuto combinando ripetutamente i due stati utilizzando il test di scambio (questo ricorda ciò che eqb ha proposto nella loro risposta). L'intuizione del motivo per cui funziona è simile all'algoritmo di Grover : stai cercando di implementare una rotazione nel sottospazio bidimensionale attraversato dai due stati e ruotarne uno da qualche parte tra i due.

Answer 3

Un controesempio che mostra che ciò non è possibile nel caso generale (qui trascuro la possibilità di post-selezione discussa nei commenti della domanda e nella risposta accettata ):

$$ C_1 = X \qquad C_2 = -X$$

Oppure si può prendere $C_2 = R_y(- \pi)$e tutte le equazioni menzionate di seguito risulteranno vere. Così:

$$C_1 |0\rangle = |1\rangle = |\psi \rangle \qquad C_2 |0\rangle = -|1\rangle = |\phi \rangle$$

Ma vogliamo costruire un circuito $C_3$:

$$C_3|0\rangle = \frac{|\psi \rangle + |\phi \rangle}{\sqrt{2}} = \frac{|1 \rangle - |1 \rangle}{\sqrt{2}} = 0$$

Così $C_3$ non è unitario ($C_3$ non preserva la lunghezza del vettore) e questo mostra che per generale $C_1$ e $C_2$ questo tipo di circuito non può essere creato.

---

Un altro controesempio senza ambiguità di fase globale tra$C_1$ e $C_2$:

$$C_1 = R_y(\frac{\pi}{3}) \qquad C_2 = R_y(-\frac{\pi}{3})$$

Per questo caso;

$$C_1 |0\rangle = R_y(\frac{\pi}{3}) |0\rangle= \cos{\frac{\pi}{6}}|0\rangle + \sin{\frac{\pi}{6}}|1\rangle |\psi \rangle \\ C_2 |0\rangle = R_y(-\frac{\pi}{3}) |0\rangle = \cos{\frac{\pi}{6}}|0\rangle - \sin{\frac{\pi}{6}}|1\rangle = |\phi \rangle$$

Vogliamo costruire $C_3$:

$$C_3 |0\rangle = \frac{|\phi \rangle + |\psi\rangle}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} |0\rangle$$

E perché $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \ne 1$, $C_3$ non è unitario e non può essere costruito.

---

In alcuni casi $C_3$ unitario esistono: ad esempio per $C_1 = X$ e $C_2 = Z$ possiamo avere $C_3 = H = \frac{X + Z}{\sqrt{2}}$.