Spettro di un $\ell^2$-operatore

Question

Devo trovare lo spettro $\sigma(T)$ del seguente operatore $\ell^2$ (sequenze reali):

$$T(x)=(x_1,x_2,0,0,x_4,x_5,\dots) \;\; \forall x=(x_1,x_2,\dots) \in \ell^2$$

ma ho qualche problema (ieri ho postato una domanda simile ed è stato fatto notare che l'operatore era compatto ma questo non lo è)

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Prendere $y \in \ell^2$ e supponiamo $(T-\lambda)x=y$, abbiamo le seguenti relazioni:

$$(1-\lambda)x_1=y_1 \\ (1-\lambda)x_2=y_2\\ -\lambda x_3=y_3\\ -\lambda x_4=y_4\\ x_4-\lambda x_5=y_5\\ x_5-\lambda x_6=y_6 \\ \vdots$$

da questi otteniamo

$$x_1=(1-\lambda)^{-1}y_1\\ x_2=(1-\lambda)^{-1} y_2\\ x_3=-\lambda^{-1} y_3\\ x_4=-\lambda^{-1} y_4\\ x_5=-\left(\lambda^{-1}y_5+\lambda^{-2} y_4 \right)\\ x_6=-\left(\lambda^{-1} y_6+\lambda^{-2}y_5+\lambda^{-3} y_4 \right)\\ \vdots$$

ora non so come determinare se $x \in \ell^2$.

Answer 1

EDIT: questo non è applicabile alla domanda. Vedi sotto.

Indica l'operatore come $P$. Dovrebbe essere chiaro che$P$ è una proiezione; $P^2=P^*=P$. Per qualsiasi proiezione, lo spettro è un sottoinsieme di$\{0,1\}$, con al massimo uno di questi escluso. Possiamo definire un inverso esplicito in tutti gli altri casi:$(P-\lambda I)^{-1}=\frac{I}{-\lambda}+\frac{P}{\lambda-\lambda^2}$. Questo può essere verificato tramite il seguente calcolo:\begin{align*} (P-\lambda I)\frac{1}{-\lambda}(I+\frac{P}{\lambda-1})&=\frac{1}{-\lambda}[P-\lambda I+\frac{P^2}{\lambda -1}-\frac{\lambda P}{\lambda -1}]\\ &=\frac{1}{-\lambda}[P-\lambda I-P]\\ &=I. \end{align*} Il fatto che questo sia un inverso a due lati deriva dall'intera equazione, che non fa altro che invertire l'ordine di moltiplicazione.

MODIFICA QUI: L'operatore $T$ sopra prende $e_1\mapsto e_1,e_2\mapsto e_2,e_3\mapsto e_3$, e quindi si sposta in avanti sugli indici successivi. Ciò significa che$T$ ha una scomposizione come $I_3\oplus R$, dove $I_3$ è il $3\times 3$ operatore di identità e $R$è l'operatore di turno giusto. Lo spettro della somma diretta di un numero finito di operatori è l'unione dei loro spettri. Lo spettro dell'operatore di identità è$1$e lo spettro dell'operatore di spostamento a destra è il disco dell'unità chiusa $\{z\in\mathbb C\,|\,|z|\le 1\}$. Quindi lo spettro di$T$ è l'unità disco chiusa.