Studio di soluzioni singolari dell'ODE
Dato che $$8x(y')^3 + 12y(y')^2 - 9y^5 = 0$$ Trova tutte le soluzioni e studia soluzioni singolari.
La mia soluzione
Dopo averlo notato $y' = 0$ è soluzione solo quando $y = 0$ noi sottotitoliamo $y' = \frac{1}{x'}$ e poi $x' = p$. Dopo di che otteniamo$$\frac{8x}{p^3} + \frac{12y}{p^2} - 9y^5 = 0 \implies 8x + 12yp - 9y^5p^3 = 0 \tag{1}$$ Quindi prendiamo i differenziali di entrambe le parti e lo notiamo $dx = pdy$. Ora abbiamo$$8pdy + 12ydp + 12pdy - 45y^4p^3dy - 27y^5p^2dp = 0 \implies$$ $$\implies (20p - 45y^4p^3)dy + (12y - 27y^5p^2)dp = 0 \implies$$ $$\implies 5p(4 - 9y^4p^2)dy + 3y(4 - 9y^4p^2)dp = 0 \tag{2}$$ Da qui prendiamo la soluzione $4 - 9y^4p^2 = 0 \implies p = \pm\frac{2}{3y^2}$ e sostituire in $(1)$: $$8x \pm (\frac{8}{y} - \frac{8}{3y}) = 0 \implies y = \pm\frac{2}{3x}$$ Ora continuiamo a risolvere $(2)$ diviso per $4 - 9y^4p^2$. abbiamo$$5pdy + 3ydp = 0 \implies y^5p^3 = C_1 \implies p = \frac{C_2}{\sqrt[3]{y^5}}$$ Sostituiscilo in $(1)$ $$8x + \frac{12C_2}{\sqrt[3]{y^2}} - 9C_2^3 = 0$$ Adesso facciamo una sostituzione $C = \frac{3}{2}C_2$ e prendi $$8x + \frac{8C}{\sqrt[3]{y^2}} - \frac{8C^3}{3} = 0 \implies 3x + \frac{3C}{\sqrt[3]{y^2}} - C^3 = 0 \implies $$ $$\implies y = \pm \left(\frac{3C}{C^3 - 3x}\right)^\frac{3}{2}$$
E qui appare il primo problema: la soluzione nel libro è $y = \pm \left(\frac{3C}{C - 3x}\right)^\frac{3}{2}$, ma non posso sostituire $C^3$ per $C$ perché allora $C$ al numeratore diventa $\sqrt[3]{C}$. Dopo tutto, le soluzioni che abbiamo sono:
$\quad \large 1) y = 0$
$\quad \large 2) y = \pm\frac{2}{3x}$
$\quad \large 3) y = \pm \left(\frac{3C}{C^3 - 3x}\right)^\frac{3}{2}$
Quindi studiamo soluzioni singolari. In primo luogo,$$\frac{\partial F}{\partial y'} = 24x(y')^2 + 24yy' = 0 \implies xy' + y = 0 \implies$$ $$\implies xy = C$$ Le soluzioni di questo tipo che abbiamo sono $$xy = \pm\frac{2}{3}$$ Proviamo a trovare intersezioni e linee tangenti delle nostre soluzioni con altre soluzioni. $$y_1(x_0) = y_2(x_0) \implies \pm\frac{2}{3x} = \pm \left(\frac{3C}{C^3 - 3x}\right)^\frac{3}{2} \tag{3}$$ Questa equazione sembra essere difficile da risolvere, quindi lasciamola così com'è e cerchiamo la condizione delle linee tangenti $$y_1'(x_0) = y_2'(x_0) \implies -\frac{2}{3x^2} = \left(\frac{3C}{C^3 - 3x}\right)^\frac{3}{2}\cdot \frac{9}{2(C^3 - 3x)} = \frac{2}{3x}\frac{9}{2(C^3 - 3x)} \tag{4}$$ L'ultima parte dell'equazione segue da $(3)$. Dopo alcune manipolazioni otteniamo$$6x - 2C^3 = 9x \implies x = -\frac{2C^3}{3}$$Quindi forse ora penseremo che esistono soluzioni singolari dai nostri calcoli, ma non lo sono. Se mettiamo la nostra soluzione a$(3)$ ci arriveremo $$\mp\frac{1}{C^3} = \pm\frac{1}{C^3}$$ che ovviamente non vale per nessuno $C\in \mathbb{R}$. Quindi ho concluso che non esistono soluzioni singolari in quanto tali. Ma il libro, ancora una volta, dice che ci sono due soluzioni singolari$y = \pm\frac{2}{3x}$
Ho 2 domande:
$\quad 1)$ Le soluzioni trovate sono corrette?
$\quad 2)$Esistono soluzioni singolari? Forse ho commesso un errore da qualche parte e tutto è andato storto.
Risposte
In linea di principio sembra buono. Si può iniziare a discutere di soluzioni composite nel punto (2) in cui si fattorizza$$ 0=(5p+3yp')(4−9y^4p^2)=(5p+3yp')(2-3y^2p)(2+3y^2p) $$Ciò significa che sulle soluzioni si possono contrassegnare segmenti in base a quale fattore è zero. Il fattore può cambiare nei punti in cui due fattori sono zero. Ovviamente gli ultimi due fattori non sono mai contemporaneamente pari a zero.
Un altro modo per semplificare la situazione è prendere l'equazione (1) $$ 0=8x+12py-9(py^{5/3})^3 $$ e confrontalo con l'equazione di Clairaut $$ v(u)=v'(u)u+f(v'(u)), $$ dove confrontare la forma degli ultimi termini suggerisce la trasformazione $u=y^{-2/3}$, $x=v(u)=v(y^{-2/3})$, così che $p=x'=-\tfrac23y^{-5/3}v'(y^{-2/3})$ e $$ 0=8v(u)-8v'(u)u+\frac83v'(u)^3\iff v(u)=v'(u)u-\frac13v'(u)^3 $$è infatti già in forma Clairaut. Questo ha ora una struttura di soluzioni ben nota, prima la famiglia delle soluzioni lineari$$ v(u)=Cu-\frac13C^3\iff x=\frac{C}{y^{2/3}}-\frac{C^3}3 $$ e poi la singolare soluzione che ne risulta $0=u+f'(v'(u))=u-v'(u)^2$, che inserito nell'equazione di Clairaut originale dà $$ v(u)=v'(u)u-\frac13v'(u)u=\pm\frac23u^{3/2}\implies x=\pm\frac2{3y}. $$ Una curva $v=Cu+f(C)$ dalla famiglia normale incontra la singolare curva dove $u=-f'(C)$, Qui $y^{-2/3}=C^2\iff y=\pm C^{-3}$, $x=\frac23C^3$. Il segno di$y$decide il ramo della curva singolare, è possibile che tu abbia mescolato le scelte di segno sbagliato lì. Le pendenze delle tangenti in questi punti sono\begin{align} x=\frac{C}{y^{2/3}}-\frac{C^3}3&\implies x'=-\frac23Cy^{-5/3}=\mp\frac23C^6,\\ x=\pm\frac{2}{3y}&\implies x'=\mp\frac2{3y^2}=\mp\frac23C^6, \end{align} così che effettivamente, come costruito, le tangenti alle intersezioni sono le stesse.