Su normali alberi Suslin

Question

Sto leggendo il libro di Jech "Set Theory" proprio nella parte sugli alberi di Suslin. Sul Lemma 9.13 dimostra che se esiste un albero di Suslin, allora esiste un albero di Suslin normale.

Se $T$ è un normale albero di altezza $\alpha$, quindi, in particolare, lo soddisfa

Per ogni $x\in T$ e $height(x)<\beta<\alpha$, lì esiste $y>x$ tale che $height(y)=\beta$.

Ma sembra strano per me, perché questa proprietà sembra implicare, per induzione transfinita, l'esistenza di una catena con la stessa altezza di $T$. Ma se questo è vero, allora non dovrebbero essere normali alberi Suslin, poiché ogni albero Suslin ha altezza$\omega_1$e nessuna catena innumerevole. Cosa mi manca qui?

Answer 1

Stai perdendo le fasi limite. Certo, se un ramo è di lunghezza successore (cioè ha un elemento massimo), puoi continuare ad estenderlo livello per livello per$\omega$più passaggi, ma come fai a sapere che continua ad andare dopo? Per ogni nodo sul ramo, c'è un nodo sopra di esso al livello limite successivo, ma ciò non significa che puoi dire che c'è un nodo sopra l'intero ramo.

Per un esempio più concreto di un albero che ha altezza $\omega_1$ e questa proprietà, ma non ha un ramo di lunghezza $\omega_1$, considera l'albero delle funzioni da ordinali numerabili a $\omega$ che sono uno-a-uno e hanno un raggio co-infinito.