Teorema determinante di Sylvester

Question

Ho bisogno di aiuto per provare la seguente formula :

$log\,|\sigma^2\cdot I_N+\varPhi_N^T\cdot P(\alpha)\cdot\varPhi_N|=(N-n)\cdot log\,\sigma^2+log\,|P(\alpha)|+log\,|\sigma^2\cdot P(\alpha)^{-1}+\varPhi_N\cdot\varPhi_N^T|$

La matrice $\varPhi_N$ ha dimensione $n \times N$ mentre la matrice $P(\alpha)$ ha dimensioni $n \times n$ed è positivo (semi?) - definito. La variabile$\sigma^2$ ha dimensione $1 \times 1$ (scalare non negativo: $\sigma^2\ge0$).

Qualsiasi aiuto per affrontare la semplificazione di cui sopra è benvenuto. Grazie

Quello che ho provato finora: $(N-n)\cdot log\,\sigma^2+log\,|P(\alpha)|+log\,|\sigma^2\cdot P(\alpha)^{-1}+\varPhi_N\cdot\varPhi_N^T|=log(|\sigma^2\cdot I_{N-n}|\cdot |P(\alpha)|\cdot |\sigma^2\cdot P(\alpha)^{-1}+\varPhi_N\cdot\varPhi_N^T|)=log\,|\sigma^2\cdot I_N+\varPhi_N^T\cdot P(\alpha)\cdot\varPhi_N|$

$\implies$

$|\sigma^2\cdot I_{N-n}|\cdot |P(\alpha)|\cdot |\sigma^2\cdot P(\alpha)^{-1}+\varPhi_N\cdot\varPhi_N^T|=|\sigma^2\cdot I_N+\varPhi_N^T\cdot P(\alpha)\cdot\varPhi_N|$

$|\sigma^2\cdot I_{N-n}|\cdot |\sigma^2 \cdot P(\alpha)\cdot P(\alpha)^{-1}+P(\alpha)\cdot \varPhi_N\cdot\varPhi_N^T|=|\sigma^2\cdot I_N+\varPhi_N^T\cdot P(\alpha)\cdot\varPhi_N|$

$|\sigma^2\cdot I_{N-n}|\cdot |\sigma^2 \cdot I_n+P(\alpha)\cdot \varPhi_N\cdot\varPhi_N^T|=|\sigma^2\cdot I_N+\varPhi_N^T\cdot P(\alpha)\cdot\varPhi_N|$

$\sigma^{2\cdot(N-n)} \cdot \sigma^{2\cdot n}\cdot|I_n+\frac{1}{\sigma^2}\cdot P(\alpha)\cdot \varPhi_N\cdot\varPhi_N^T|=\sigma^{2\cdot N}\cdot|I_N+\frac{1}{\sigma^2}\cdot\varPhi_N^T\cdot P(\alpha)\cdot\varPhi_N|$

$\sigma^{2\cdot N} |I_n+\frac{1}{\sigma^2}\cdot P(\alpha)\cdot \varPhi_N\cdot\varPhi_N^T|=\sigma^{2\cdot N}\cdot|I_N+\frac{1}{\sigma^2}\cdot\varPhi_N^T\cdot P(\alpha)\cdot\varPhi_N|$

$|I_n+\frac{1}{\sigma^2}\cdot P(\alpha)\cdot \varPhi_N\cdot\varPhi_N^T|=|I_N+\frac{1}{\sigma^2}\cdot\varPhi_N^T\cdot P(\alpha)\cdot\varPhi_N|$

permettere $A=\frac{1}{\sigma^2}\cdot P(\alpha)\cdot \varPhi_N$ e $B=\varPhi_N^T$

abbiamo il teorema determinante di Sylvester:

$|I_n+A \cdot B|=|I_N+B \cdot A|$

Answer 1

Ho modificato la mia domanda con la risposta