Trasformata integrale ridotta?

Question

Ho scoperto che i seguenti integrali sono uguali:

$$ \int_0^1sx^{s-1}\exp\bigg(\frac{t}{\log(x)}\bigg)~dx=\int_0^1\exp\bigg(\frac{st}{\log(x)}\bigg)~dx $$

Permettere $f^s(x)=x^s,$ quindi il LHS può essere scritto come $$ \int_0^1\frac{d}{dx}\bigg(x^s\bigg)\exp\bigg(\frac{t}{\log(x)}\bigg)~dx$$

Mi ricorda la trasformata di Mellin su un supporto delimitato.

La RHS è una sorta di trasformazione di Mellin travestita?

Sembra essere. Ciò significa che per una costante$r>0$ il seguente integrale rappresenta una trasformata di Mellin dove l'unico oggetto nell'integrando è il kernel:

$$ \int_0^1 \exp\bigg(\frac{r}{\log(x)}\bigg)~dx $$

Quindi, per questo kernel specifico, penso che la trasformazione Mellin possa essere scritta solo utilizzando il kernel stesso.

È corretto?

Answer 1

Per $s > 0$, supponendo che converga assolutamente su un certo intervallo $(a,b)$

$$\int_0^\infty x^{s-1}f(x)dx=\int_0^\infty x^{s-1}f(e^{\log x})dx=\frac1s \int_{0}^\infty f(e^{\frac1s \log t})dt\tag{1}$$

Quindi sì, la RHS è una trasformata di Mellin e Laplace sotto mentite spoglie.

Più divertente quando si chiede (per continuazione analitica) per quale $f$ e in che senso (funzionale analitico) l'uguaglianza rimane vera per $\Re(s)\in (a,b)$ complesso.