Trova una statistica sufficiente per $p$

Question

Permettere$X = (X_1, X_2, X_3)$essere$\text{i.i.d.}$ $\text{Bin}(3,p)$distribuito e considerare lo stimatore$\hat{p}(X) = \frac{X_1}{18} + \frac{X_2}{9} + \frac{X_3}{6}.$

Per prima cosa dovevo mostrarlo$\hat{p}$è imparziale, dopo alcuni calcoli ho trovato:$E[\hat{p}] = p$

Ma la prossima domanda è che devo dimostrarlo$\hat{p}$non è sufficiente e per cui devo trovare una statistica sufficiente$p$.

Qualsiasi aiuto sarebbe grato. Grazie in anticipo.

Answer 1

moltiplicando le tre densità si ottengono

$$\binom{3}{x_1}\binom{3}{x_2}\binom{3}{x_3}p^{\sum x}(1-p)^{9-\sum x}=$$

$$=\underbrace{\binom{3}{x_1}\binom{3}{x_2}\binom{3}{x_3}}_{h(\mathbf{x})}\underbrace{(\frac{p}{1-p})^{\sum x}(1-p)^9}_{g[t(\mathbf{x}),p]}$$

così$T=\sum_i X_i$è il tuo stimatore sufficiente

Per dimostrare che il tuo$\hat{p}=\frac{x_1+2x_2+3x_3}{18}$non è sufficiente puoi dimostrare che la distribuzione condizionale$f_{X_1 X_2 X_3 | \hat{p}}$non è indipendente da$p$(basta un controesempio)

CONTROESEMPIO

$$f(0,1,0|\hat{p}=\frac{2}{18})=...=1-p$$

che non è indipendente da$p$e quindi$\hat{p}=\frac{X_1+2X_2+3X_3}{18}$non è sufficiente per$p$

il denominatore della probabilità contizionale è calcolato tenendo conto di ciò

$\hat{p}=\frac{2}{18}$si ottiene solo nei seguenti casi

1. $(0,1,0)$

2. $(2,0,0)$