Trovare 4 diverse statistiche sufficienti

Question

Se $X_1, ..., X_n$ è un campione casuale preso da una popolazione geometrica della forma $$ P(X = x;p) = p(1-p)^x, $$ per $x = 0, 1, 2, ...,$ e $0 < p < 1$, trova quattro diverse statistiche sufficienti per $p$.

Tentativo :

Ho trovato che il pmf comune del campione casuale è

$$ P(\mathbf{X} = \mathbf{x}; p) = p^n(1-p)^{\sum x_i}, ~~ x_i = 0, 1, 2, ..., ~~\text{and}~~ 0 < p < 1. $$

L'unica statistica sufficiente a cui riesco a pensare è $T(\mathbf{X}) = \sum X_i$, il totale del campione.

Scrivendo il pmf congiunto in forma esponenziale, ho trovato

$$ P(\mathbf{X} = \mathbf{x}; p) = \operatorname{exp}\Bigl[n\text{ln}(p) + \sum x_i \text{ln}(1-p)\Bigr] $$

Non vedo come aiuta, però.

Answer 1

Suggerimenti :

L'intero campione stesso è una statistica sufficiente con $T(\mathbf{X}) = \mathbf{X}$ (perché?).

Per un'altra statistica sufficiente, ricorda che ogni statistica minima sufficiente è sufficiente e usa il seguente teorema (Teorema 6.2.13) in Casella e Berger:

Permettere $f(\mathbf{x} \mid \theta)$ essere il pmf o il pdf di un campione $\mathbf{X}$. Supponiamo che esista una funzione$T(\mathbf{x})$ tale che, per ogni campione di punti $\mathbf{x}$ e $\mathbf{y}$, il rapporto $f(\mathbf{x} \mid \theta)/f(\mathbf{y} \mid \theta)$ è costante in funzione di $\theta$ se e solo se $T(\mathbf{x}) = T(\mathbf{y})$. Poi$T(\mathbf{X})$ è una statistica sufficiente minima per $\theta$.

Se applichi questo metodo, lo otterrai $T(\mathbf{X}) = \sum X_i$ è sufficiente, ma osservare quanto segue: questa particolare statistica sufficiente fa $f(\mathbf{x} \mid \theta)/f(\mathbf{y} \mid \theta)$ costante se e solo se $T(\mathbf{x}) = T(\mathbf{y})$.

Permettere $g: A \to B$ con $A, B \subset \mathbb{R}$essere una funzione uno a uno. Ne consegue che$T(\mathbf{x}) = T(\mathbf{y})$ se e solo se $g(T(\mathbf{x}) = g(T(\mathbf{y}))$. Così$f(\mathbf{x} \mid \theta)/f(\mathbf{y} \mid \theta)$ è costante se e solo se per qualsiasi funzione uno-a-uno $g$, $g(T(\mathbf{x}) = g(T(\mathbf{y}))$. Quindi,$g(T(\mathbf{X}))$ è minimamente sufficiente e quindi sufficiente per $\theta$.

Quindi, se disponi di una statistica minimamente sufficiente per $\theta$, qualsiasi funzione uno-a-uno della statistica minimamente sufficiente per $\theta$ è anche minimamente sufficiente, e quindi sufficiente.