Trovare lim sup

Question

Non riesco a trovare un modo per risolvere questo problema. Ho provato a usare la definizione di lim sup ma non ho ottenuto dove.

Considera la serie: $\sum^\infty_{n=1} a_n = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots+\cdots$

Poi $\limsup_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=$

Modifica: questo è il lavoro che ho fatto ieri sera. Mi scuso per non aver mostrato il mio lavoro.

Ho guardato la sequenza $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$. Ho notato che sembra$\frac{2}{3}, \frac{3}{2^2}, \frac{2^2}{3^2},\frac{3^2}{2^3},\cdots$.

Quindi, i termini generali sembrano $(\frac{2}{3})^n$ per $n$ strano e $\frac{1}{2}(\frac{3}{2})^n$ per $n$ anche.

Ho guardato gli estremi delle sequenze di coda e poi ho deciso di trovare il loro minimo. La sequenza che ho trovato l'ha$\infty$ come supremum di ogni sequenza di coda dalla sequenza per $n$anche è monotonicamente in aumento. Così ho dedotto che il limsup dovrebbe essere$\infty$. Tuttavia, la risposta è stata data per essere$\frac{1}{2}$.

Questa sequenza che ho trovato è ovviamente un errore in quanto gli esponenti che ho preso sono sbagliati.

La sequenza sembra effettivamente $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\cases{(\frac{2}{3})^{\frac{n+1}{2}}& n is odd\\ \frac{1}{2}(\frac{3}{2})^\frac{n}{2}& n is even}$

Tuttavia, la sequenza del supremum delle code consiste solo di $\infty$ e quindi è l'ultimo dei supremums $\infty$. Cosa mi manca?

Answer 1

Il tuo argomento va benissimo e il "bandito" in questo è l'autore del problema per aver reso poco chiaro come $a_{n}$deve essere espresso. Qualcosa che ho trovato vero per alcuni autori è questo; in caso di dubbio un libro di testo di matematica è sempre scritto in "tre".

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Se invece di curare $a_{n}$ essere una sequenza di poteri reciproci alternati di $2$ e $3$, prendiamo $a_{n}$ essere una sequenza di potenze uguali, come in $a_{n}=\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{3^{n}}$, quindi otteniamo una descrizione alternativa (e col senno di poi una vera) della serie in questione. Con la seguente sequenza di calcoli arriviamo$\lim \sup \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{2}$:

Prima riscrivendo $a_{n}$ su un comune denominatore otteniamo $a_{n}=\frac{3^{n}+2^{n}}{6^{n}}$ e così

$$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{6(2^{n}+3^{n})}.$$

Dividendo numeratore e denominatore per $3^{n+1}$ arriviamo a $$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(\frac{2}{3})^{n+1}+1}{2((\frac{2}{3})^{n}+1)}.$$ Da allora $$(\frac{2}{3})^{n},(\frac{2}{3})^{n+1}\to 0 \ \text{as} \ n \to \infty$$ lo otteniamo $$\lim \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim \frac{(\frac{2}{3})^{n+1}+1}{2((\frac{2}{3})^{n}+1)}=\frac{1}{2}.$$ Perché $\lim \sup x_{n} = \lim x_{n}$ per una sequenza $x_{n}$ che converge, possiamo dedurlo $$\lim_{n\to\infty} \sup \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{2}$$.