Un'identità su coefficienti binomiali

Question

Ho eseguito alcuni esperimenti su Magma e credo sia vero: se $p$ è un numero primo e $k, a \geq 0$ allora sono numeri interi

$${kp \choose ap} \equiv {k \choose a} \mod p^2.$$

Qualcuno può pensare a come dimostrarlo? Una dimostrazione combinatoria è data in un commento qui , ma sono curioso di sapere se esiste una dimostrazione algebrica.

So come dimostrare la congruenza mod $p$: segue utilizzando il teorema binomiale sull'identità $$(1+x)^{kp} = (1+ x^p)^k$$ in $\mathbb{F}_p[x]$, che a sua volta è vero per Frobenius.

Answer 1

Ok eccolo qui (per $p^3$, un caso ancora più forte):

Per questo, userò questo simpatico lemma:

Per $n\in\mathbb{N}$ e $p\in\mathbb{P}$, $p>3$: $$\binom{np-1}{p-1}\equiv 1\pmod{p^3}$$

$$\binom{pk}{pa}-\binom{k}{a}=\frac{pk(pk-1)...(pk-pa+1)}{(pa)!}-\frac{k(k-1)...(k-a+1)}{a!}=\binom{k}{a}\Bigg(\frac{\prod_{i=k-a+1}^{k}\binom{pi-1}{p-1}}{\prod_{i=1}^{a}\binom{pi-1}{p-1}}-1\Bigg)$$

Permettere $$c=\prod_{i=1}^{a}\binom{pi-1}{p-1}$$

Poi abbiamo

$$\binom{pk}{pa}-\binom{k}{a}=\frac{\binom{k}{a}}{c}\Bigg(\prod_{i=k-a+1}^{k}\binom{pi-1}{p-1}-\prod_{i=1}^{a}\binom{pi-1}{p-1}\Bigg)$$

Usando il nostro lemma, la dimostrazione è completa, perché

$$\prod_{i=k-a+1}^{k}\binom{pi-1}{p-1}-\prod_{i=1}^{a}\binom{pi-1}{p-1}\equiv1-1\equiv0\pmod{p^3}$$

e

$$c=\prod_{i=1}^{a}\binom{pi-1}{p-1}\equiv 1\pmod{p^3}$$ così $c$ non è divisibile per $p$.

Quindi, $$\binom{pk}{pa}\equiv\binom{k}{a}\pmod{p^3}$$

Per ulteriori informazioni, vedere congruenze dei tipi di Ljunggren .