Una domanda su $SK_1$ di anelli

Question

Permettere $B$ essere un anello commutativo con unità e $B/nil(B):=B_{red}$, dove $nil(B)$ è il nilradicale di $B$. È$SK_1(B)=SK_1(B_{red}) ?$ In particolare, è vero quando $B$ è un'algebra affine su un campo algebricamente chiuso?

Answer 1

Sì. Un elemento nel kernel di$SK_1(B)\rightarrow SK_1(B_{red})$ è rappresentato da una matrice $M\in GL_n(B)$ per alcuni $n$. Scrivi$\overline{M}$ per la riduzione di $M$ mod $nil(B)$. Poi$\overline{M}$ è un prodotto di matrici elementari, tutte riconducibili a matrici elementari $B$. Regolazione$M$ di conseguenza, possiamo supporlo $\overline{M}$ è l'identità.

Ne consegue che gli elementi sulla diagonale di $M$ sono tutti $1$ mod $nil(B)$, quindi tutte le unità in $B$. Questo ci permette di usare operazioni elementari per convertire$M$ ad una matrice diagonale, che quindi (per il lemma di Whitehead) rappresenta l'elemento zero di $SK_1(B)$.

(Lo stesso argomento funziona se $B_{red}$ è sostituito da $B/I$, dove $I$ è qualsiasi ideale contenuto nel radicale di Jacobson.)