Varietà complessa definita sopra $\mathbb{Q}$

Question

Se consideriamo varietà proiettive complesse, da definire sopra $\mathbb{Q}$ significa che c'è un incorporamento proiettivo la cui immagine è il luogo di fuga di un sistema polinomiale con coefficienti in $\mathbb{Q}$.

Se consideriamo varietà complesse chiuse non c'è spazio ambientale evidente.

Tuttavia, potremmo richiedere che ci sia un numero intero positivo $n$ e una scelta di

• per ogni $1\leq i\leq n$, set aperti $U_i\subset M$
• per ogni $1\leq i<j\leq n$ tale che $U_i\cap U_j\neq \emptyset$, punti $p_{i, j}\in U_i\cap U_j$
• per ogni $1\leq i \leq n$, incorporamenti olomorfi $\phi_i:U_i\to \mathbb{C}^{d}$ tale che per qualsiasi $i< j \leq n$ con $U_i\cap U_j\neq \emptyset$ le mappe di transizione $\phi_i(U_i\cap U_j)\to \phi_j(U_i\cap U_j)$ sono rapporti di due funzioni olomorfe $\phi_i(U_i\cap U_j)\to \phi_j(U_i\cap U_j)$ ciascuno con serie di Taylor con coefficienti in $\mathbb{Q}$ in giro $p_{i, j}$ che convergono su tutti $\phi_i(U_i\cap U_j)$?

Questa nozione è stata studiata? Esiste un collettore complesso chiuso non nella classe Fujiki$\mathcal{C}$ soddisfacendo questa condizione?

Answer 1

Nota che questa è una risposta corretta alla domanda originale, quindi la lascerò qui, anche se ora la domanda è stata modificata. (La domanda originale è recuperabile tornando alle versioni precedenti.)

In effetti, ogni varietà complessa ha un tale atlante.

Permettere $(M,J)$ essere un complesso (finito-dimensionale) $n$-moltiplicare e lasciare $\mathscr{U}$ essere una copertina aperta di $M$con le proprietà che (i) per ciascuno$U\in\mathscr{U}$, c'è un $J$grafico -olomorfo $\zeta:U\to\mathbb{C}^n$e (ii) per ciascuno$U\in\mathscr{U}$ c'è un punto $p\in U$ questo non si trova in nessuno $V\in\mathscr{U}$ diverso da $U$. (Usando la paracompattezza, non è difficile costruire un tale grafico.) Quindi scegliendo uno di questi 'punti di riferimento'$p_U\in U$ con $p_U\not\in V\in\mathscr{U}$ per $V\not=U$ e uno $J$grafico -olomorfo $\zeta_U:U\to\mathbb{C}^n$ così che $\zeta_U(p_U) = 0\in\mathbb{C}^n$, arriviamo a un 'atlante appuntito' $$ \widehat{\mathscr{U}} = \{ (U,\zeta_U,p_U)\ |\ U\in \mathscr{U}\ \} $$con tutte le proprietà dichiarate. Il motivo è che l'unica volta che il punto$p_U$ è nel dominio di una funzione di transizione per l'atlante appuntito $ \widehat{\mathscr{U}}$ è quando si sta "passando" da $U$ per $V=U$e, in tal caso, l'unica funzione di transizione è la mappatura dell'identità $\zeta_U(U)\subset\mathbb{C}^n$, la cui serie Taylor su $\zeta_U(p_U) = 0\in\mathbb{C}^n$ ha chiaramente tutti i coefficienti in $\mathbb{Q}$ (infatti, tutti i coefficienti sono in $\mathbb{Z}$).