Verifica della prova e comprensione necessarie

Nov 28 2020

Usa il risultato dell'esercizio 1 per dimostrare se A è infinito e B finito e B è un sottoinsieme finito di A, allora A \ B è infinito

Esercizio 1 Siano A, B insiemi finiti disgiunti. e A≈m. e B≈n, quindi. A ∪ B ≈ m + n. Concludere che l'unione di due insiemi finiti è finita.

Nota : il problema proviene da A book of set Theory di Pinter

Tentativo di prova (Caveat Lector: lascia che il lettore stia attento ... La mia conoscenza del set infinito è instabile, posso usare l'induzione e la mappatura)

Ho provato l'esercizio 1. (Riscrittura completa)

Scrivi A = (A \ B)$\cup$ B (1)

Utilizzando $A \cup B $ dall'esercizio 1 otteniamo A \ B = ($A\cup B)\cap B^{c}$ (2)

Supponiamo ora che A abbia un sottoinsieme numerabile B e A sia finito; cioè A ≈ n, B ⊆ A e B ≈ ω. Quindi B$\subset$(A \ B)$\cup$ B.

A \ B non può essere finito poiché A è infinito Se a$\in$A \ B quindi a$\in B^{c}$ poi $B^c$ è infinito che è contraddizione poiché B è finito

Quindi A / B è infinito

Aiuto

Risposte

PaulSinclair Nov 29 2020 at 19:32

Poche cose:

$A\setminus B = \{x \in A: x \notin B\}$. Così$$A\setminus B = A\cap B^\complement$$ Non c'è motivo di unione in tutti gli elementi di $B$ prima di rimuoverli intersecando con $B^\complement$.
Tu deduci

$A\setminus B= ((A\setminus B)\cup B)\cup B)\cap B^\complement$

Così $A\setminus B$ e $B$ sono disgiunti.

Qualsiasi argomento con cui potresti ottenere "$A\setminus B$ e $B$ sono disgiunti "da $A\setminus B= ((A\setminus B)\cup B)\cup B)\cap B^\complement$ funzionerebbe molto più facilmente dalla tua dichiarazione (2): $A\setminus B= (A\cup B)\cap B^\complement$. O più facilmente ancora da (quello che presumo sia la definizione data da Pinter$A\setminus B$): $A\setminus B = A\cap B^\complement$. Stavi chiaramente andando nella direzione sbagliata e evidentemente hai deciso di fingere, sperando che il tuo lettore si sarebbe ugualmente perso e presumesse che tu avessi effettivamente dimostrato qualcosa.

Quello $A\setminus B$ e $B$sono disgiunti è qualcosa di così ovvio che è discutibile se fosse necessario dimostrarlo. Dalla definizione di set builder che ho dato, è dimostrabile notandolo$x \in A\setminus B \implies x \notin B$, quindi non c'è $x$ che è in entrambi $A\setminus B$ e $B$. Se insisti per una dimostrazione "set-algebrica", allora$$(A\setminus B) \cap B = (A \cap B^\complement)\cap B = A\cap(B^\complement\cap B) = A\cap\varnothing = \varnothing$$

Non stai tenendo traccia delle tue ipotesi:

Supponiamo ora $A$ ha un sottoinsieme numerabile $B$ e $A$è finito ; questo è,$A \approx n, B \subseteq A$, e $B \approx \omega$. Così$B\subset (A\setminus B)\cup B$.

$A\setminus B$non può essere finito poiché A è infinito ...

Inoltre, non usi nessuno degli elementi sopra nel resto del tuo argomento, quindi perché li hai menzionati? L'unica cosa che hai usato era quella$A$ è infinito, che è un'ipotesi del teorema.

Se $a\in A\setminus B$ poi $a\in B^\complement$ poi $B^\complement$ è infinito, il che da allora è contraddizione $B$ è finito.

Presumo tu lo stia dimostrando $A\setminus B \subseteq B^\complement$, il che implicherebbe davvero $B^\complement$è infinito (assumendo che sia già stato dimostrato che una classe con una sottoclasse infinita è essa stessa infinita). Ma$B^\complement$ essere infinito non contraddice comunque $B$essere finito. Infatti il complemento di ogni insieme finito è infinito. I complementi di insiemi non sono insiemi secondo la teoria degli insiemi di Pinter. Sono classi appropriate e le classi appropriate sono sempre infinite.

Se vuoi usare l'esercizio 1 per dimostrarlo, è necessaria una prova per contraddizione. Ma quello che stai cercando di dimostrare è "$A\setminus B$ è infinito ", quindi l'ipotesi che devi fare è l'opposto:"$A\setminus B$ è finito ". Quando arrivi a una contraddizione, significa che l'assunto che ti ha portato ad essa è falso, e se"$A\setminus B$ è finito "è falso, quindi il suo opposto"$A\setminus B$ è infinito "sarà vero.